Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
Г4"=с2р,
если только мы имеем дело со слабым статическим полем и если тензор
механических натяжений pi} пренебрежимо мал по сравнению с плотностью
энергии, как это бывает в обычных задачах.
§ 80. НЬЮТОНОВА ТЕОРИЯ КАК ПЕРВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
207
Кроме того, вследствие особенно простого выбора значений компонент
метрического тензора g(см. (80.2)), позволяющего поднимать и опускать
тензорные индексы, мы в данном случае имеем
= Т\ = Тц = Т = с3р, (80.11)
в то время как все другие компоненты тензора энергии - импульса равны
нулю.
Далее, сопоставляя (80.11) с уравнениями (78.14) и (78.15), видим, что в
нашем случае релятивистские уравнения дают простой результат:
- хс2р = Ru y к&Рёш (80.12)
или
Т?44 = -
ХСгр
Рассмотрим теперь выражение (77.1) для R^v. Учтем, что произведениями
символов Кристоффеля можно пренебречь из-за слабости поля, а производные
по времени равны нулю, поскольку мы рассматриваем статическое поле. Тогда
можно переписать (80.12) так:
д га хс1 р дх° 44 " 2 •
Подставляя сюда (80.6), переписываем последнее выражение в нужном виде:
?-(?"\л- - (еи\4- д* (2<Л-*С*Р /ЯП 14'
Ш(^) + д^(-Т) + дг^(-2-) 180Л3'
Это уравнение уже полностью соответствует уравнению Пуассона (75.1) из
ньютоновой теории тяготения, в чем легко убедиться, если снова, как и в
(80.9), воспользоваться соотношением
JL = iiL j_ const
CJ 2 ,
и заменить x на величину
(80.14)
где k - обычная гравитационная постоянная, а с - скорость света.
Итак, мы показали, что ньютонова теория - это первое приближение к более
полной теории гравитации, следующей из общей теории относительности.
Более того, поскольку, как можно показать, ньютонова теория является
чрезвычайно точны?.:
208
ГЛ. VI. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
приближением для напряженностей полей, с которыми мы обычно сталкиваемся,
можно считать, что все хорошо изученные законы небесной механики
подтверждают и релятивистскую теорию гравитации.
§ 81. Единицы, используемые в релятивистских вычислениях
Соотношение (80.14) приписывает определенную величину константе у в
уравнениях Эйнштейна (78.3). Она выражается через обычную гравитационную
постоянную k и скорость света с. Следовательно, из этих уравнений можно
получить уже численные результаты, которые можно сравнить с результатами
наблюдений. Используя величины [44]*)
с -2,99796-1010 см/сек и 6 = 6,664-10~8 см5/г-сек2, (81.1)
получаем
х = = 2,073-10~48 сек2/см-г. (81.2)
Таким образом, численное значение к зависит, во-первых, от выбора системы
единиц (мы приняли систему СГС) и, во-вторых, от выбора размерности
компонент тензора энергии - импульса 7>v (которые заданы у нас в
галилеевых координатах матрицей
(37.8) и имеют размерность плотности энергии, а не плотности массы,
как это иногда принимается).
Однако выбором новой системы единиц мы можем достичь некоторых упрощений
в написании релятивистских уравнений и уничтожить всякий произвол в
выборе размерности T^v. Чтобы сделать это, можно сохранить сантиметры в
качестве единицы длины, но выбрать единицы времени и массы так, чтобы
скорость света в свободном пространстве с и гравитационная постоянная
превратились в единицы
с= 1 и 6= 1. (81.3)
При таком выборе единиц энергия и масса данной системы, в соответствии с
(27.4), имеют одну и ту же численную величину:
Е=т, (81.4)
так что обе отмеченные выше возможности выбора размерности 7>v ведут
теперь к одинаковым численным результатам. Кроме того, постоянная к
определяется теперь просто как
х = 8л, (81.5)
*) Современные значения: с = 2,99793-1010 см/сек, k -6,673-10-8 см3/г-
сек2.
§ 82. ИНТЕРВАЛ ШВАРЦШИЛЬДА
209
и релятивистское уравнение (78.8) может быть записано следующим образом:
- 8л7\п, = Я^ - -g-Kguv + Aguv (81-6)
Все вычисления далее будут проводиться в этих единицах. Результаты,
однако, всегда можно перевести в систему СГС с помощью следующих
соотношений, связывающих длину, время и массу L, Т и М в единицах СГС с
их величинами I, t и m в новых единицах:
L = l см,
Т - 2>998.10ii-= 3,335-10-Чсек, (81.7)
w (2,998- Ю10)2 , 1Л28
М= -----------г-т - 1,349-102 т г.
6,664-10
§ 82. Интервал Шварцшильда
В качестве особенно важного применения общей теории относительности мы
получим теперь выражение для линейного элемента (формула интервала) в
пустом пространстве, окружающем гравитирующую точечную частицу. Полное
решение этой проблемы было впервые получено Шварцшильдом [60] и имеет
большое значение, поскольку с его помощью можно описывать гравитационное
поле, окружающее Солнце, а также для вывода формул трех "решающих
опытов", в которых обнаруживаются различия между предсказаниями
ньютоновой теории тяготения и более точными предсказаниями общей теории
относительности.
Метод решения этой проблемы хорошо известен, так что для наших целей
будет достаточно лишь наметить его основные черты. Учитывая статический и
сферически симметричный характер поля, окружающего гравитирующую точечную
частицу, можно (§ 95) выбрать координаты г, 0, <р и (, в которых линейный
