Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Пенроуз Р. -> "Структура пространства-времени" -> 64

Структура пространства-времени - Пенроуз Р.

Пенроуз Р. Структура пространства-времени — М.: Мир, 1972. — 184 c.
Скачать (прямая ссылка): strukturaprostranstvavremeni1972.pdf
Предыдущая << 1 .. 58 59 60 61 62 63 < 64 > 65 66 67 68 69 70 .. 186 >> Следующая

вполне оправданным использование специальной теории относительности как
абстрактной идеализации.
§ 77. Гравитационные поля в пустоте. Свернутый тензор Римана -
Кристоффеля
Поскольку условие равенства нулю тензора Римана-Кристоффеля исключает
присутствие постоянных гравитационных полей, мы должны, очевидно,
изыскать более слабые ограничения на гравитационное поле в пустом
пространстве в соседстве с гравитирующими телами.
Можно получить это условие, свернув тензор Римана - Кристоффеля, полагая
о=т в (76.1) и суммируя по т. Это дает нам тензор
R\iv = Гд01 av ГцУГа0 + --f Гца --- 1 (77.1)
ох дх
который с помощью уравнения (37) из Приложения III, перестановки
слагаемых и порядка суммирования по немым индек-
сам может быть записан проще:
*>' = " г" + г!"г?в + ln - ГЬ 1"
(77.2)
В качестве полевых уравнений в пустом пространстве, но вблизи от
гравитирующих масс, Эйнштейн предложил соотношение
*"v=0. (77.3)
*) Расширение возможностей наблюдений не опровергает эту гипотезу и для
расстояний до 1010 световых лет. (Прим. ред.)
§ 78. ГРАВИТАЦИОННЫЕ ПОЛЯ ПРИ НАЛИЧИИ МАТЕРИИ
195
Оно, очевидно, справедливо, если удовлетворяется условие "плоского"
пространства - времени (76.2), но может выполняться и при менее строгих
ограничениях.
Теоретическая оправданность выбора этого уравнения станет ясной из
следующего параграфа, где мы получим его как предельный случай более
общего выражения - уравнения для гравитационного поля при наличии
материи; мы имеем также точное эмпирическое подтверждение справедливости
уравнения
(77.3) -данные по движению планет (см. § 83).
§ 78. Гравитационные поля при наличии материи и энергии
Займемся теперь разрешением фундаментальной проблемы, поставленной в §
75, а именно, получим ковариантное соотношение, связывающее
гравитационные потенциалы g^-v и компоненты тензора энергии - импульса
Т^. Такое соотношение можно расценивать как соответствующий
релятивистский аналог уравнения Пуассона
?+$-!-? """'Р. <78"
которое связывает в ньютоновской теории тяготения единственный
гравитационный потенциал ф с плотностью материи р и гравитационной
постоянной k.
При решении этой фундаментальной проблемы у Эйнштейна имелось несколько
наводящих соображений. Во-первых, согласно предварительной постановке
проблемы (§ 75) можно ожидать, что релятивистский аналог уравнения
Пуассона будет соотношением, связывающим все десять гравитационных
потенциалов gцУ с распределением материи и энергии, которое описывается
десятью компонентами тензора энергии - импульса 7\iv. Во-вторых, в
соответствии с принципом ковариантности желательно выразить это
соотношение в ковариантной форме, т. е. надо будет построить такой тензор
второго ранга из gи его производных по координатам, что его можно будет
затем приравнять тензору энергии - импульса. В-третьих, поскольку в
уравнении Пуассона нет производных от ньютоновского потенциала выше
второй, естественно предположить, что (хотя бы в первом приближении)
искомый тензор также не будет содержать производных от gilv выше второй.
И наконец, из принципа эквивалентности следует, что тензор энергии -
импульса является величиной, дивергенция которой может быть сведена к
нулю в любой заданной точке путем выбора естественной системы координат,
так как в специальной теории относительности в галилеевых координатах 13*
196
ГЛ. VI. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
справедливо соотношение (37.9):
= 0, (78.2)
дхv
полученное нами при рассмотрении в § 37 механики сплошных сред.
Эти соображения оказались для Эйнштейна достаточными, чтобы написать в
качестве релятивистского аналога уравнения Пуассона соотношение
Ruv 2~ R8vv г - x7'(iv • (78.3)
Здесь Rnv-свернутый тензор Римана - Кристоффеля; R - инвариант,
полученный дальнейшим свертыванием этого тензора; А - так называемая
космологическая постоянная, смысл которой обнаружится ниже; и -
константа, связанная с обычной постоянной гравитации некоторым множителем
(что будет показано в § 80, где уравнение Пуассона будет получено из
(78.3) в качестве первого приближения), и Т^ - тензор энергии - импульса,
который определяют в общей теории относительности, придавая его
компонентам в собственных координатах (а следовательно, и в любой системе
естественных координат) значения, которые были бы в согласии со
специальной теорией относительности.
Соотношение (78.3) вполне удовлетворяет всем перечисленным выше условиям.
Оно приводит в случае слабых гравитационных полей к уравнению Пуассона в
качестве первого приближения, как будет показано в § 80. Оно связывает
десять гравитационных потенциалов guv и их производные с компонентами
тензора энергии - импульса Т^у. Это уравнение удовлетворяет принципу
релятивистской ковариантности, так как записано в тензорном виде, а
потому справедливо во всех системах координат, если справедливо в одной.
Оно не содержит также производных от guv выше второго порядка.
Кроме того, следует отметить, что введенное соотношение обеспечивает
Предыдущая << 1 .. 58 59 60 61 62 63 < 64 > 65 66 67 68 69 70 .. 186 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed