Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
интервала в общей теории относительности как при наличии, так и в
отсутствие гравитационных полей согласуется с требованиями принципа
эквивалентности.
Перейдем теперь к рассмотрению ковариантного выражения
Т + = 0, (74.13)
описывающего в специальной теории относительности траектории свободных
частиц или световые лучи (73.13). Сразу видно, что опять-таки это
выражение удобно принять как постулат, справедливый в общей теории
относительности в присутствии гравитационных полей. Действительно, в
естественных координатах символы Кристоффеля в (73.13) в выбранной нами
точке обращаются в нуль согласно (74.12), и общая формула (74.13)
сведется к выражению (73.11) из специальной теории относительности:
0. (74.14)
ds2
Далее, дополнительное ограничение
ds=0, (74.15)
накладываемое в специальной теории относительности при рассмотрении
световых лучей, может быть, очевидно, приближенно принято как общее
условие и при наличии гравитационных полей, а потому уравнения для
геодезических линий (74.13) можно перенести и на случай движения частиц
или световых лучей в гравитационном поле. Это является значительным шагом
вперед в построении полной теории гравитации, который должен быть,
конечно, оправдан со временем данными астрономических наблюдений.
Фундаментальный тензор g^v встречается как в формуле для интервала
(74.10), так и в формуле для траектории (73.13). В формуле для интервала
он появляется в виде набора метрических величин, которые определяют
природу геометрии пространства- времени, связывая величины различных
интервалов с соответствующими разностями координат. В уравнениях движения
первые производные g^v по координатам появляются в символах Кристоффеля
первого рода в определенной аналогии с производными ньютоновского
гравитационного потенциала в прежних уравнениях движения. Отсюда следует
двойственный характер фундаментального тензора g^v, ибо десять входящих в
него независимых величин можно рассматривать либо как компоненты
метрического тензора, либо как гравитационные потенциалы в теории
тяготения Эйнштейна. Зависимость геомет-
§ 75. МЕТРИКА И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАТЕРИИ
191
рии пространства - времени, а следовательно, и свойств самого
пространства от гравитации, возникающая из-за дуальности фундаментального
тензора,- замечательный вывод общей теории относительности.
Несколько абстрактный характер формулы интервала (74.10) не должен
затемнить ее прямую связь с наблюдаемыми свойствами материи. Любой
интервал, выраженный формулой (74.10), будет либо
пространственноподобным, либо времениподобным, либо сингулярным в
зависимости от того, отрицательна, положительна или равна нулю величина
ds2. Переходя к надлежащим образом выбранным собственным координатам
x,y,z, t, выражение для любого пространственноподобного интервала можно
привести к виду
-ds2 = dx2+dy2+dz2, (74.16)
а выражение для любого времениподобного интервала - к виду
ds2-c2dt2.
Это позволяет определить собственные длины прямо по метрическим отметкам,
а собственное время отсчитывать по часам. Точно так же уравнения движения
(74.13) имеют непосредственное отношение к экспериментальной ситуации,
поскольку временипо-добный интервал ds является собственным временем для
локального наблюдателя, движущегося с данной частицей, и скорость
изменения координат этой частицы с изменением ds может быть найдена путем
непосредственных измерений.
§ 75. Зависимость гравитационного поля и метрики от распределения материи
и энергии. Принцип Маха
В дополнение к принципам ковариантности и эквивалентности мы должны,
очевидно, ввести в теорию гравитации некоторые дополнительные элементы. В
самом деле, с помощью уже введенных двух принципов мы научились
интерпретировать фундаментальный тензор g'nv в метрическом смысле - им
определяется геометрия пространства - времени - и в его гравитационном
аспекте- им определяется движение частиц и световых лучей. Однако мы не
касались пока действительной зависимости величин gnv от координат, если
не считать весьма общего утверждения, что пространство- время является
"плоским" в отсутствие внутреннего гравитационного воздействия и "кривым"
при наличии постоянных гравитационных полей. Следовательно, мы должны
теперь ввести третий принцип релятивистской теории гравитации, а именно:
точную формулировку закона, отражающего зависимость метрического и
гравитационного полей от состояния
192
ГЛ. VI. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
пространства - времени, знание которой позволит вычислять гравитационные
эффекты при заданных распределениях материи и энергии.
Согласно ньютоновской теории тяготения действие гравитации в какой-либо
точке пространства в данный момент определяется расположением окружающей
материи, и эта общая идея, соответствующим образом модифицированная,
должна 'быть включена в релятивистскую теорию гравитации, поскольку
ньютоновская теория в любом случае оказывается чрезвычайно точным первым
приближением. В теории Ньютона зависимость гравитационного потенциала ф
