Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
часы В двигаться по направлению к А со скоростью -и. И наконец, когда
часы опять окажутся вблизи А, мгновенным воздействием третьей силы F3
возвратим их з прежнее состояние покоя.
Так как по предположению временные интервалы, необходимые для ускорения и
для замедления часов В, малы по сравнению со временем равномерного
движения, можно написать, в соответствии с замедлением часов в
специальной теории относительности (§ 9), соотношение
МА - At в П ь (79.5)
Это выражение связывает измеренные величины AtA и А/в, для обоих часов,-
интервалов времени, которые часы В затрачивают
202
ГЛ. VI. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
на движение от часов А и возвращение обратно. Последнее выражение
позволяет сделать вывод, что часы В должны отсчитать по окончании
указанного эксперимента меньшее число делений, чем часы А. Тем не менее
на первый взгляд этот результат, полученный совершенно корректно в рамках
специальной теории относительности, оказывается несовместным с идеей
относительности всякого движения. Действительно, согласно этой идее мы
должны получить тот же результат, если считать, что часы В покоятся, а
часы А движутся со скоростью -и и возвращаются со скоростью +ы. Поскольку
весь расчет аналогичен, то теперь А оказываются часами, которые должны
отсчитать меньшее количество делений.
Этот кажущийся парадокс легко разрешается, однако, в общей теории
относительности, если учесть, что рассмотренные постановки данного опыта
несимметричны. Действительно, часы Л в первом варианте опыта ни разу не
подвергаются воздействию каких-либо сил, в то время как на часы В
последовательно воздействуют силы F\, F2 и Fa, изменяющие относительное
движение часов. Для правильного описания эксперимента в случае, когда
часы А считаются движущимися, а В покоящимися, надо предположить, что
изменения в относительном движении часов происходят за счет мгновенных
включений однородных гравитационных полей, которые, действуя на часы Л,
вызывают нужные изменения их скорости без введения каких-либо сил, в то
время как действие прежних сил на часы В должно их удерживать в покое.
Таким образом, мы приходим к правильному описанию того же эксперимента на
новом языке, и нам легко вычислить соотношение между двумя измерениями
временных интервалов Д^а и AtB.
Прежде всего введем обозначения:
AtA = ТА -Г Тл -г ТА + Тл (79.6)
и
Ate = тв ~г тв "Т тв + тв, (79.7)
где та и Тв - измеренные по двум часам Л и В, соответственно, временные
интервалы, в течение которых часы Л движутся с одинаковой скоростью и;
хА, тл, та и тв.тд, %в - интервалы, за которые происходят три изменения
скорости часов Л: в начале, в середине и в конце эксперимента - из-за
мгновенных включений соответствующих гравитационных полей. Будем считать,
что эти интервалы малы по сравнению со временем, в течение которого Л
находятся в состоянии равномерного движения, в соответствии с
предшествующим описанием эксперимента.
Так как теперь Л - движущиеся часы, мы можем согласно специальной теории
относительности записать с заданной
§ 79. ПРОСТЕЙШИЕ СЛЕДСТВИЯ ПРИНЦИПА ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
203
степенью точности:
(79.8)
в противоположность предыдущему соотношению (79.5), где В - движущиеся
часы. Кроме того, поскольку как те, так и другие часы в
начале и в конце эксперимента, когда включаются
поля, находятся практически при одном и то.м же значении гравитационного
потенциала, можно, очевидно, с достаточной степенью точности записать,
что
та = тв и тл = т в- (79.9)
С другой стороны, в гравитационном поле, действующем в середине
эксперимента и обращающем движение А, часы А а В находятся уже на большом
расстоянии друг от друга. Поэтому в соответствии с нашим предыдущим
рассмотрением справедливо соотношение
тл = тЦ1+^), (79.10)
где А-ф - разность значений гравитационных потенциалов для А и В, взятых
в один " тот же .момент времени.
Эту разность легко задать через расстояние h, разделяющее часы, и
гравитационное ускорение g в виде
Д ty=hg.
Кроме того, можно, очевидно, положить
h = ~^-итв,
так как 2/г - суммарное расстояние, которое покрывается со скоростью и, а
также записать, что
поскольку 2и - полное изменение скорости за время тв-
Используя последние три соотношения, можно выразить
(79.10) в более удобном виде:
тл =- тв + тв , (79.11)
а комбинируя это уравнение с предыдущими (79.6) -(79.9), получаем
At А Тв ^1 г • • •] + Т в -'г--------т в "Г Т в -^3-Ь т в -
( | 1 li? \ * п m
- Тв П " "2 -?Г -р . . . ) "Т тв -г Тв "Г Тд.
'204
ГЛ. VI. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Или в заданном приближении с учетом того, что штрихованные величины малы
по сравнению <с тв, имеем
AtA = AtB(l + ~}pj. (79.12)
Сравнивая этот результат с предыдущим (79.5), видим, что независимо от
того, движутся ли часы А или часы В, мы получаем с заданной степенью
точности одинаковые выражения для относительных показаний двух часов.
Чтобы решить эту проблему без приближений, надо привлечь уже полный
аппарат общей теории относительности.
