Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
пространственнокомпактной вселенной, удовлетворяющей условию
(неравенству), которое может выполняться и в реальной вселенной, но
которое невозможно проверить путем наблюдений. С другой стороны, теорема
III содержит аналогичное условие, которое, согласно Хокингу и Эллису
[44], вероятно, можно удовлетворить даже на основании имеющихся в
настоящее время астрономических наблюдений. В обращенной во времени форме
теорема III будет также применима к соответствующей ситуации
гравитационного коллапса (такой, как слабо возмущенное коллапсирующее
пылевое облако Оппенгеймера - Снайдера; см. разд. 10). В теореме III
используется предположение причинности, но гораздо менее жесткого типа,
чем условие (1а) существования глобальной гиперповерхности Коши в теореме
I. Фактически должны быть исключены замкнутые временноподобные кривые (т.
е. ^S1), но мы будем использовать более сильный вариант этого требования.
162 11. СИНГУЛЯРНОСТИ в космологии
Пусть РеМ. Тогда на Ж эквивалентны следующие условия относительно Р [42,
50]:
Существуют сколь угодно малые окрестности
ТОЧКИ Р, КАЖДАЯ ИЗ КОТОРЫХ НЕ ПЕРЕСЕКАЕТ НИ ОДНОЙ
ВРЕМЕННОПОДОБПОЙ КРИВОЙ ПО НЕСВЯЗНОМУ МНОЖЕСТВУ, (1 1.1)
т. е., грубо говоря, временноподобные кривые из окрестности Р не могут
покинуть и затем снова вернуться в окрестности Р;
Если Р <( Q И КАЖДАЯ ТОЧКА ИЗ I- (Q) ХРОНОЛОГИЧЕСКИ ПРЕДШЕСТВУЕТ КАЖДОЙ
ТОЧКЕ ИЗ /+ (Р), ТО
P=Q ' (11.2)
(ср. разд. 9) и
Утверждение (11.2) обратимо во времени. (11.3)
Если выполняется (11.1), (11.2) или (11.3), то мы говорим, что в Р
выполняется сильная причинность. Если это условие выполняется для всех Р
е Ж, то мы говорим, что сильная причинность выполняется в Ж.
Эквивалентность (11.1) - (11.3) установить нетрудно, поэтому мы опускаем
доказательство. Приведенный Хокингом пример, для которого условие не
выполняется, изображен на рис. 42. [Используя метрику и координаты
Минковского, удаляем области {х° > 1, я1 < - 1), (щ° < - 1, х1 > 1),
(х° = - А'1 = 1) и
(х°= -х'= -1); затем отождествляем (1, х\ х2,х3) с (-1, -х1, х2, -г3), х1
< -1; Р- начало координат. Если в Р выполняется сильная причинность, мы
называем окрестность Л точки Р причинно выпуклой, при условии, что ни
одна из временноподобных кривых не пересекает Л по несвязному множеству
[ср. с (11.1)].
Если в Р нарушается сильная причинность, произвольно малое возмущение
метрики в окрестности Р может привести к появлению замкнутых
временноподобных кривых, которые в силу ряда причин являются крайне
нежелательными с физической точки зрения. Таким образом, представляется
весьма разумным предположение о том, что сильная причинность должна
выполняться в каждой точке пространства-времени. Другим условием, более
слабым, чем (11.1) -
И. СИНГУЛЯРНОСТИ в космологии
163
Р и с. 42. Пространство, в котором отделимость прошлого и будущего
выполняется, а сильная причинность не выполняется.
(11.3), но более сильным, чем отсутствие замкнутых временноподобных
кривых, является условие отделимости будущего [50] в Р
/+ (Р) =/+ (Q) ВЛЕЧЕТ ЗА СОБОЙ Р - Q. (II .4)
Оно утверждает, что временноподобная кривая, проходящая через Р в
будущее, не может затем вернуться сколь угодно близко к точке Р. Мы
говорим, что Ж удовлетворяет условию отделимости прошлого в Р тогда и
только тогда, когда для всех Q
I_(P) = I_(Q) ВЛЕЧЕТ ЗА СОБОЙ Р = Q. (11.5)
Картер1) предложил иерархию условий причинности, более сильных, чем
(11.1). Опять-таки, нарушение любого из условий Картера могло бы привести
к появлению замкнутых временноподобных кривых при слабом возмущении Ж.
') Одно из таких условий было бы нарушено, если бы существовали две точки
Р, R s М, такие, что для любой окрестности Я точки Р и любой окрестности
Я точки R всегда нашлась бы временноподобная кривая с начальной точкой в
Я и конечной точкой в Я и другая временноподобная кривая с конечной
точкой в I? и начальной точкой в Я. Такое поведение может иметь место без
нарушения сильной причинности, в чем можно убедиться, если взягь в
качестве Л двулистное накрывающее многообразие для кто многообразия,
которое изображено на рис, 42 (Картер).
164
11. СИНГУЛЯРНОСТИ в космологии
Условие того, чтобы сильная причинность выполнялась в каждой точке Ж,
фактически эквивалентно утверждению, что "топология Александрова" ёГ*
является хаусдорфовой [50], где открытые множества ёГ* имеют в качестве
базы множества /+(Х) П/-(У). Это опять-таки эквивалентно утверждению, что
ёГ* согласуется с обычной топологией многообразия для Ж. На рис. 42
приведен случай, когда упомянутое условие нарушается. В этом примере
любое открытое в ёГ* множество, содержащее Р, пересекает любое открытое в
ёГ* множество, содержащее Q, так что свойство Хаусдорфа нарушается.
Теперь сформулируем теоремы.
Теорема II (теорема Хокинга). Следующие требования на пространство-время
Ж несовместимы:
(Па) Существует компактная пространственноподобная гиперповерхность (без
границы) Ж.
(Пб) Дивергенция 0 единичной нормали к Ж положительна в каждой точке Ж.
