Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
к [ср. с (7.29), (7.33) и т. д.], так что конечные отрезки RQ образуют
компактное множество. Таким образом, 9v, будучи замкнутым подмножеством
компактного множества, само является ком* пактным. Итак, мы имеем [ср. с
(9.7)]:
& ЕСТЬ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕННОПОДОБНОЕ КОМПАКТНОЕ
ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ 3-МНОГООБРАЗИЕ В Л. (10.17)
Далее, хорошо известна теорема (см., например, [101, стр. 201]), согласно
которой любое пространство-время допускает гладкое временноподобное
единичное векторное поле. Мы можем использовать интегральные кривые этого
векторного поля, чтобы попытаться осуществить одно-однозначное
отображение 9? в 'й7 (оба множества полупространственноподобные), так
как, согласно (1а), 9? cz D+{W), Однако^это невозможно, хотя их
размерности одинаковы, но 9* компактно, а Ф7 некомпактно. Тем самым (1а),
(16), (1в) (1г) несовместимы, и теорема I доказана.
В свете теоремы I уместно спросить, какое из ее условий наиболее вероятно
нарушается в реальной вселенной. Первым кандидатом является, по-видимому,
условие (1а). Есть две причины, по которым (1а) может не выполняться. Во-
первых, вселенная может быть "замкнутой" (другими словами,
пространственнокомпактной). Тогда, казалось бы, мы могли бы произвести
замену W компактной пространственноподобной гиперповерхностью, являющейся
ГГК [т. е. с [+(W) =0+(Ф)\ Однако доказательство теоремы I нарушится на
конечной стадии, и результат не будет больше верен. Например, все условия
выполняются в пространстве де Ситтера (9.14), (9,15), где 'g7 есть се-
Т
156
10. ГРАВИТАЦИОННЫЙ КОЛЛАПС
чение (9.14) посредством V = -2а <0 (а = const) и есть V = -а, W - 0. С
другой стороны, трудно поверить, что вопрос о том, является ли вселенная
как целое открытой или замкнутой, существенно влияет на "локальную"
коллапсирующую систему (размеры которой меньше по крайней мере в 1011
раз). В самом деле, исследование доказательства теоремы I показывает, что
оно может быть доведено до конца и в случае компактного W, но при
условии, что (в хорошо определенном смысле) коллапсирующий объект не
"проглотит" всю вселенную! Замкнутая вселенная типа модели Фридмана с k-
1, которая в конце концов сжимается до состояния высокой плотности,
может, в принципе, удовлетворять этому условию. Решение проблемы
сингулярностей указанным выше способом, по-видимому, исключается теоремой
Хокинга [41], которая по существу утверждает, что "почти все" миры с
компактной ГГК должны быть неполны, если они удовлетворяют более
сильному, но "разумному" требованию к Rab, вытекающему из (7.47).
Вторая причина, по которой (1а) может нарушаться, является более
серьезной. Лапласовская идея о том, что будущее вселенной должно
полностью определяться ее поведением в один момент "времени",
предшествовала как теории относительности, так и квантовой теории. Мы уже
привыкли к индетерминизму второй теории ¦), но почему же мы должны
требовать детерминизма во всех случаях в общей теории относительности?
Возможность того, что вселенная не должна обладать ГГК, весьма заманчива.
Известен ряд физически интересных миров, не содержащих ГГК. Два примера
были рассмотрены в разд. 9. Решения Керра [48] и Рейснера - Нордстрема
(см., например, [62]), аналитические продолжения которых даны
соответственно Бойером и Линдквистом [12] (см. также [18, 19]) и Грейвсом
и Бриллом [37], больше
!) Слово "индетерминизм" здесь вряд ли уместно. В случае квантовой теории
до тех"пор, пока мы не переходим к "локализации" частицы и тому подобным
операциям, а работаем с самой волновой функцией, все причинно определено.
- Прим, ред.
10. ГРАВИТАЦИОННЫЙ КОЛЛАПС
157
подходят к обсуждению вопроса о коллапсе (хотя и содержат сингулярности).
Метрика Керра есть
ds2 = dv2 - (dv + a sin2 0 d<p)2 - 2 dv dr -f
+ h dQ2 -f 2a sin2 В dr dq> -f (r2 + a2) sin2 0 d(f, (10.18)
где m и а константы (m - масса, та - угловой момент) и
h = г2 + a2 cos2 0. (10.19)
Метрика Рейснера - Нордстрема есть
ds2 = 11 - Щ- -j- dv2 - 2 dv dr -
- r2(dQ2 -j- sin2 0 d(f2)y (10.20)
где v - опережающее время, e - электрический заряд. Метрика (10.18) с
m>|a| и метрика (10.20) с т> \е\ отчасти подобны в том отношении, что они
обладают не только горизонтом событий для внешних геодезических
("шварцшильдовская горловина"), который определяется соответственно
условием
г+ - т -f (т2 - a2f\ г+ -т(т2 - е2)'1*, (10.21)
но также вторым "горизонтом", на котором световые конусы наклоняются
вторично:
г - - т - (т2 - а2)'!г, г- - т - (т2 - е2)',г. (10.22)
Обе метрики имеют истинную сингулярность при г-0, но природа их несколько
различна. В случае метрики Керра сингулярность имеет кольцевую структуру.
После прохождения кольца мы попадаем в область г < 0. (Как показал Картер
[19], вблизи кольца встречаются замкнутые временноподобные кривые.)
Отвлекаясь от поведения метрики вблизи (и на) сингулярности, мы можем
изобразить общую картину, как на рис. 40. С помощью процедуры сшивания,
аналогичной той, которая применяется в шварцшиль-довском случае, можно
