Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
положительно определенной метрикой [58]. Точка, сопряженная к Ж на у,
есть фокальная точка конгруэнции Г временноподобных геодезических,
ортогональных к Ж [т. е. точка, где 0 из (7.40) становится бесконечным].
Мы можем также применять лемму VII в предельном случае к гиперповерхности
Ж из (11.6), требуемой в теореме III. В этом случае, если у - отрезок
временноподобной геодезической от X до Ж, который максимизирует d(X,Ж),
то, чтобы быть "ортогональным" к Ж, отрезок у должен проходить через Р.
Всякая другая точка Ж лежит на световой геодезической на Ж, которая
простирается в будущее до более далеких от X точек. Тогда мы
интерпретируем лемму VII как утверждение о том, что у проходит через
П. СИНГУЛЯРНОСТИ в космологии
171
Р и не содержит точек (разве что за исключением X), сопряженных к Р (т.
е. фокальных точек конгруэнции Г временноподобных или световых
геодезических, проходящих через Р) ¦
Теперь мы можем применить эти результаты к теоремам II и III. Пусть ta
обозначает поле единичных (направленных в будущее) касательных векторов к
временноподобным у из Г. По (116) или (Шб) мы имеем 0 > 0 в некоторой
точке из 1-[Ж] на каждой ysT. Тогда в силу (Пв) или (Шв) и эффекта
Райчаудури [ср. с (7.40) - (7.47), а также с (7.39)] мы получим фокальную
точку G(0 = oo, -р = оо) где-то на каждой из у е Г в прошлом от Ж. [В
этом месте используется полнота относительно временноподобных (Пг), (III
г) и световых (Шг) геодезических, направленных в прошлое.] Если фокальных
точек несколько, мы выбираем ближайшую к Ж (и фР). Точка G будет
изменяться непрерывно при переходе от одной геодезической у к другой. В
силу компактности Ж (теорема II) или того факта, что временноподобные и
световые направления в Р образуют компактную систему (теорема III), мы
получаем, что область выметаемая сегментами у от G до Ж, будет
компактной.
Согласно леммам VI и VII, мы имеем: int 0-(Ж)с a 'S и, следовательно,
О^(Ж) cz % U Ж- В частности, Н-(Ж) cz 'З U Ж. В теореме II Ж
пространственноподобно, поэтому Н-{Ж) П Ж = 0. Горизонт Коши Н-(Ж) как
замкнутое подмножество компактного множества S? является компактным.
Согласно (10.15) и (9.7), Н-(Ж) есть, таким образом, компактное
многообразие класса С0 без границы. Согласно (Пг), мы можем продолжить
каждую у в прошлое до длин, больших, чем таxd(G, Ж). Тогда, согласно
леммам VI и VII, каждая у пересекает Н-(Ж). Положим F = у П Н-{Ж) и
определим p{F) как максимум длин сегментов от F до Ж. (Для фиксированного
F максимум достигается в силу компактности Ж и системы Г.) Нетрудно
видеть, что p(F) [с F е Н-(Ж)] достигает своей минимальной величины.
Пусть F = F0 минимизирует p(F). Световая геодезическая ц на Н.(Ж)
172
11. СИНГУЛЯРНОСТИ в космологии
имеет F0 в качестве начальной точки. Пусть F\ лежит строго в будущем
относительно F0 на ту Длина ломаной кривой от Fo до Ж, которая состоит из
малого отрезка F0F\ геодезической т] и максимальной кривой у от F\ до Ж,
не может быть меньше p(Fо). Такая у существует, поскольку В-(Ж) cz3.
Сглаживая излом и сдвигая кривую с Н^(Ж), мы получим временноподобную
кривую t, от F0 до Ж с длиной k, большей чем p(F0). Взяв В на с, очень
близко к F0, чтобы d(B, Ж)> p(F0), и устремляя В к F0, получим предельное
положение (соответствующей) у, проходящей через В (при этом используем
компактность Ж), Это даст нам p(F0) > k > p(Fo), чем устанавливается
требуемое в теореме II противоречие.
В теореме III Ж не является пространственноподобным и поэтому Н-(Ж) может
пересечь Ж (рис. 44) ]). Таким образом, мы не можем предполагать, что
Н.(Ж) компактно, и изложенная выше аргументация неприменима. Взамен этого
мы привлечем сильную причинность. Определим отношение ( на Н,(Ж)
условием:
U ( V ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА /_ (?/) с /_ (V), (II .7)
[т, е. U e/_(V)]. Тогда ( является отношением порядка на Н-(Ж) (более
слабым, чем <0. Положим si - - 3 Г\Н-(Ж). Тогда si компактно, поскольку
Н-(Ж) замкнуто и 3 компактно. Множество Ж - si П 3 с. cz Н"{Ж) - int 3 с=
Ж. Пусть U cz si. Тогда продолжимая в будущее световая геодезическая а на
Н-(Ж) имеет начальную точку U. В силу компактности и сильной причинности
а должна покидать si, скажем, в Uо Ж, и мы будем иметь U { UB. Но в
окрестности а - si есть временыоподобные кривые, ведущие в Р [так как а -
si с: Ж = 1-{Р)]. Эти временноподобные кривые должны пересечь Н-{Ж) -Ж с:
si на их пути в Р. В пределе по мере приближения этих кривых к а
множество точек пересечения имеет точку накопления V на si, и легко
проверить, что U0 ( V
') Примечание к русскому изданию. Более строгое доказательство изложенных
в этом разделе утверждений см. в [131*].
11. СИНГУЛЯРНОСТИ в космологии
173
(причем Uo?=V вследствие сильной причинности). Подобным же образом V
порождает Vo на Ж с У {Vo и W с Vo{W (V0?^W) и т. д. Последовательность
точек (Jo {Vo { Wo ( • • • на Ж должна иметь точку накопления в силу
компактности Ж. Мы Должны были бы иметь нарушение сильной причинности в
