Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Пенроуз Р. -> "Структура пространства-времени" -> 48

Структура пространства-времени - Пенроуз Р.

Пенроуз Р. Структура пространства-времени — М.: Мир, 1972. — 184 c.
Скачать (прямая ссылка): strukturaprostranstvavremeni1972.pdf
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 186 >> Следующая

X, но не обе, так как X ф. (Это выполняется тривиаль-
ным образом, если мы определим существование вырожденной p-кривой, как
только X е Ж.) Если не существует a-кривой, то КеК(Ж); если не существует
p-кривой, то Х<^1-[Ж] - Ж. Предположим, что Хе.Н~{Ж), так что существует
(возможно, вырожденная) p-кривая с началом в X. Тогда мы можем выбрать
малую открытую окрестность Л точки Атак, чтобы каждая точка из Л Г) 1-[Ж]
была концевой точкой p-кривой (т. е. 1-[Ж] П XL = Ж Г) У1-).
Действительно, если X е Ж, то в силу А' ф край (Ж) существуют точки А, В
вблизи X (А <с А' <с В), такие, что всякая временноподобная кривая от Л
до В в окрестности X пересекает Ж. В этом случае мы выбираем
10. ГРАВИТАЦИОННЫЙ КОЛЛАПС
153
Л cz I-{В) П /+(-4). Если X ф Ж, то выбираем Л внутри области прошлого
для p-кривой, идущей из л. Любая точка U из JL Л L(X) лежит в (Ж), так
что U является начальной точкой a-кривой, которая пересекает ЛГ\1-\Ж\
скажем, в точке V. Теперь V является начальной точкой для (3-кривой, и
поэтому V ei П 1Р-(Ж) cz W~(Ж) -1Л, Таким образом, условие (б) леммы I
выполнено; следовательно:
Каждая точка множества //_ (Ж) - край (Ж)
ЯВЛЯЕТСЯ НАЧАЛЬНОЙ ТОЧКОЙ ОТРЕЗКА СВЕТОВОЙ ГЕОДЕЗИЧЕСКОЙ НА //_ (Ж).
(10,16)
Разумеется, то же самое относится к /_[Ж]- Ж. Заметим, что если Н-(Ж) не
пересекает край (Ж), то всякая точка Н-(Ж) является начальной точкой для
продолжимой в будущее световой геодезической на Н-(Ж) [так как продолжая
световую геодезическую в будущее, мы никогда не достигнем конечной точки
на Н-(Ж)]. Это имеет место [ср. с (9.13)], когда Ж есть бескраевое
полупространственноподобное замкнутое множество. Ясно, что эти результаты
применимы также и при их обращении во времени.
Другое следствие (10.16) состоит в том, что если Ж есть
полупространственноподобное множество, которое пересекает каждую
максимальную световую геодезическую в Ж по непустому компактному
множеству, то Ж есть ГГК для Ж. В самом деле, если бы Ж не было ГГК, то
оно обладало бы непустым горизонтом Коши, образующие которого (световые
геодезические) должны пересекать^ по компактному множеству. Согласно
(10.16), концевая точка этого множества должна была бы принадлежать
множеству край (Ж). Однако множество край (Ж) пустое. Чтобы убедиться в
этом, рассмотрим /_ [Ж]. Имеем Ж а 1-[Ж\, так как Ж
полупространственноподобно. Положим, что существует Ре/. [Ж], но Р ф Ж.
Световая геодезическая у, которая является образующей для 1-[Ж], проходит
через Р и содержит компактную часть Ж. Пусть Q лежит на у между Р и этой
частью.
7 Р. Пенроуз
154
10. ГРАВИТАЦИОННЫЙ КОЛЛАПС
Любая световая геодезическая г|, проходящая через Q и отличная от у,
может пересечь /_ [Ж] только в Q. Таким образом, г| не может пересечь Ж
и, следовательно, точки Р не существует. Мы имеем Ж = 1~[Ж], так что Ж
есть ППГ; итак, Ж является бескраевым, что и требовалось доказать.
В качестве обратного утверждения отметим, что если Ж есть некоторое
полупространственноподобное множество и Р ^ int О-(Ж), то всякая
продолжимая в будущее световая геодезическая у, проходящая через Р,
должна встретить Ж. Это следует из существования точки Q е Г)-(Ж) с Q "
Р. Если бы у не пересекала Ж, мы могли бы двигаться строго ниже у по
продолжимой в будущее временноподобной кривой, что противоречит условию Q
е 0-{Ж). Верен и обращенный во времени результат, согласно которому
всякая продолжимая в прошлое световая геодезическая, проходящая через
произвольную точку Р е int 0+(Ж), должна пересекать Ж. Это нам вскоре
потребуется.
Доказательство теоремы I. Положим 9!=1+[9~], как в (10.11). Тогда, если
РеУ - ?Г, то существует световая геодезическая k, отрезок которой лежит
на 9 и имеет Р в качестве конечной точки. Максимально продолжим
геодезическую в прошлое. Она "проткнет" <в, поскольку PeintDt(f), Так как
^(с ГИ замкнуто, существует точка PeJ', являющаяся начальной точкой для k
Г) 9. Она должна лежать на 9поэтому R^ST. Кроме того, k должна пересечь
пространственноподобную 2-поверхность 2Г ортогонально в R, т. е. k лежит
на одной из двух световых гиперповерхностей, пересекающихся локально на
9~, поскольку они представляют собой локальную границу 1+[2Г]. Таким
образом, 9 образовано отрезками k световых геодезических, которые
ортогональны 2Г в начальной точке и которые могут иметь конечную точку
(где они встречаются с 9+). В действительности всякий такой отрезок k
должен иметь конечную точку по лемме II, поскольку условие ловушечной
поверхности (10.7) вместе со свойствами ф'о-
10. ГРАВИТАЦИОННЫЙ КОЛЛАПС
155
кусирования [ср. с (7.39)] и полноты относительно световых геодезических
(1г) означает, что р становится неограниченным в некоторой первой точке Q
на k или на продолжении k отрезка k в будущее. (Факти* чески вторая
возможность является более распростра* ненной. Она соответствует
появлению области пересечения, которая обычно возникает прежде, чем
дости" гается каустика, где р = оо.) Q меняется непрерывно при изменении
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 186 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed