Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
компактным и не содержит точек, в которых нарушается сильная причинность.
Обозначим множество таких точек X буквой 96 [относительно J+{X) см.
(9.2)]. Пусть X е 96. Рассмотрим продолжимую в будущее временноподобную
кривую с X как начальной точкой. Если кривая не пересекает Ж, то в силу
компактности <y = J+{X) П !-[Ж] она должна иметь точку накопления в Это
невозможно, поскольку в вЦ выполняется сильная причинность.
Следовательно, 96<^0-{Ж). Кроме того, X ф Н-{Ж), так как в противном
случае, согласно (10.16), продолжимая в будущее световая геодезическая с
начальной точкой X будет лежать в причем Ж-бескраевое. (Такая световая
геодезическая не может содержаться в компактном множестве, если во
множестве выполняется сильная причинность.) Отсюда 96 a int О-(Ж). Для
доказательства обратного утверждения прежде всего напомним, что если Z е
intD-(3@), то любая продолжимая в будущее непространственноподобная
кривая, проходящая через Z, должна пересечь Ж, Далее, сильная причинность
не может нарушаться в любой точке Z е int 0~(Ж). [В противном случае мы
могли бы использовать Q из (11.2), чтобы получить ZQ как световую
геодезическую, вдоль которой нарушается сильная причинность и
максимальное продолжение которой не пересекает Ж.] Предположим теперь,
что S'o - J+(Z0)f\ 1-[Ж] не является компактным для некоторого Z0 е е int
О-(Ж)- Покроем S& локально конечной системой причинно выпуклых открытых
множеств °Ui, которые достаточно малы, чтобы выполнялось следующее
требование. Любая точка U в °Ui должна быть центром открытого шара 6Su в
нормальных координатах, содержащего Шг. Пусть Zoe^,. Так как i?o
некомпактно, оно содержит последовательность точек Wj без точки
накопления в SZo- Существует непространственноподобная кривая от Z0 до
Wкоторая пересекает Шг , скажем, в Vj. Пусть V -• точка накопления для
Vi, Отрезок непространственноподобной гео-
11. СИНГУЛЯРНОСТИ в космологии
169
Дезической Z0V пересекает °l.lia в_единственной точке Z\ е <Utl. Тогда
S?\=1+{Z\) П/-[Ж] содержит последовательность точек Wj без точки
накопления в Ж| и, следовательно, также некомпактно. Повторяя это
рассуждение, получим последовательность Z0 <( -<[ Zi <( Z2 <( которая
лежит на непространственноподобной кривой у. Из свойства локальной
конечности системы %li следует, что Zj не имеет точки накопления и
поэтому у есть продолжимая в будущее непространственноподобная кривая,
проходящая через Z0 и не пересекающая Ж. Таким образом, Z0 ф. int т. е.
int 0-(Ж) сг 36. Этим завершает-
ся доказательство леммы V.
Если Л и Ш - подмножества или точки Ж, определим й(Л,Я) как наименьшую
верхнюю грань длин всех временноподобных кривых с начальной точкой (в) Л
и конечной точкой (в) М. Полагаем й(Л,Л) = = 0, если таких кривых нет. В
некоторых случаях мы будем иметь й(Л,&) - оо (но, например, для
ограниченных подмножеств мира Минковского d всегда конечно:
временноподобная прямая линия, соединяющая две точки в мире Минковского,
имеет максимальную длину по сравнению со всеми временноподобными кривыми,
соединяющими эти точки).
Лемма VI. Если Ж -Ж - бескраевое и полупространственноподобное, то
й(Х,Ж), где X е int (Ж) ограничено и достигается на некоторой
геодезической у, соединяющей X и Ж.
По лемме V мы знаем, что Щ = J+(X) ПТ-[Ж] компактно и поэтому может быть
покрыто конечным числом малых открытых окрестностей в нормальных
координатах. Так как на int О-(Ж) выполняется сильная причинность, мы
можем сделать границы J7; причинно выпуклыми. Обозначим через fit,-
наименьшую верхнюю грань длин временноподобных кривых в $i. Тогда из
локального рассмотрения следует, что di конечно и достигается (фактически
на геодезической).
Если у - временноподобная кривая от X до Ж, то ее длина не может
превышать d = Следователь-
170
11. СИНГУЛЯРНОСТИ в космологии
но, (1{Х,Ж) конечно. Далее, из компактности следует, что максимум d(X,Y)
для УеЖ будет достигаться, скажем, при У = Уо. Чтобы построить у
максимальной длины от X до Ж так, чтобы длина у действительно равнялась
й(Х,Ж), выберем нормальный координатный шар с центром Уо и выберем Z = Z0
так, чтобы максимизировать d(X, Z)=d(Z, У0), где
Ze<^ перемещается по компактной границе 38 шара 38. Пусть у -
геодезическая с конечной точкой Уо, которая проходит через Z0 и
продолжается в прошлое до длины d. Повторим приведенную выше
аргументацию, применяя ее к Zo вместо Уо и максимизируя d(X, V)-\-d{V,
Zq). Мы получим К0, которое должно лежать на у, так как временноподобная
кривая с изломом всегда увеличивает свою длину при сглаживании излома.
Продолжая этот процесс, мы видим, что у должна заканчиваться в начальной
точке X, что и доказывает лемму VI.
Лемма VII. Если Ж-пространственноподобная гиперповерхность и у - отрезок
временноподобной геодезической от X до 36, максимизирующий d(X,36), то у
пересекает Ж ортогонально и не содержит точек (разве что за исключением
X), сопряженных к Ж.
Доказательство не отличается существенно от случая многообразия с
