Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
доказывает (а), (б) и половину (в). Доказательство (г), (д) и другой
половины (в) совершенно аналогично. [Совпадение двух геодезических,
полученных для (в), следует из того, что 9 полупространственноподобно.]
Два отрезка световой геодезической на 9 могут иметь общую точку X только
в том случае, когда или X е 9~. Этот вывод верен также в случае сколь
угодно близких отрезков световой геодезической на 9. Следующий результат
делает это утверждение более точным.
Лемма II. Пусть 9 есть ППГ, а к - отрезок световой геодезической, лежащий
на 9, с конечной (соответственно - начальной) точкой Р. Предположим, что
некоторое открытое множество Л, содержащее к - Р, пересекает 9 по гладкой
световой гиперповерхности JT, для которой сходимость р неограниченна
вблизи Р (мы выбираем касательный вектор 1а к к гладким в Р). Тогда
(соответственно 9-).
150
10. гравитационный коллапс
Доказательство леммы II зависит от другого результата (изложенного,
впрочем, более подробно,чем необходимо).
Лемма III. Пусть k - отрезок световой геодезической в Л и пусть Ж 1 и Ж2
- гладкие световые гиперповерхности, проходящие через k, для которых Ж1
с: 1+ [Ж2] U Ж2- Тогда р2 - р, > | ст2 - ст, | на k (р(, Ст; относятся к
Ж1а одно и то же для каждого Ж\ на /г; i = 1, 2).
Для доказательства леммы III ') рассмотрим две гладкие скалярные функции
и( (t = l, 2) на Ж, где и. = 0 определяет Жх (в некоторой окрестности k),
причем "j увеличивается в направлении будущего с неисчезающим градиентом
на Жг Мы можем выбрать их так, чтобы Va", = Уаи2 = 1а на k. В достаточно
малой окрестности k мы имеем и2^и1. Следовательно, XaVa (и2 - их) 4- у
ХаХь?аХь (и2 - ^ 0
на k для каждого множества компонент (Д°) с достаточно малым |х"|- Пусть
Таи( = /())а, так что 1Хх) а - - l(2)a = la на k' Выберем та на k
комплексным, световым и ортогональным к 1а, причем шаш°=- 1. Полагая Ха -
%гпа + Хта, получим Х2{а2 - о,) + -f 2U (ра - рО + Я2(д2 -5,)>0 [ср. с
(7.33)]. Это должно выполняться при любых X и, следовательно,
Р2 Pi I а2 °1 I-
Для доказательства леммы II предположим, что (где Р - конечная точка k).
Тогда k можно продолжить в будущее на 9 до точки R ед 9. Световой конус
прошлого /_ {R) несингулярен в некотором открытом множестве 3, где fe-
Pc?c^ (для R, достаточно близкого к Р). Теперь применяем лемму III, где
Ж2 = 3 f| /_ (R) и Жх - 3 П Ж. Но если p = Pi неограниченно вблизи Р (и
положительно, так
¦) Примечание к русскому изданию. Изложенное здесь доказательство не
вполне строго. Исправленный вариант доказательства будет опубликован в
[132*].
10. ГРАВИТАЦИОННЫЙ КОЛЛАПС
151
как Ф не является неограниченным в Р), то р2 - р, должно стать
отрицательным вблизи Р, нарушая неравенство из леммы 111. Таким образом,
лемма II доказана.
Из леммы 1 сразу вытекает следствие: если ЗГ есть некоторое замкнутое
подмножество Ж и
^ = /+[?"], (10.11)
то
(10.12)
Это следует из части (а) леммы I, поскольку при - ЗГ некоторая
окрестность Л точки А' не будет пересекать ЗГ, так что Ж - Л = Ж, где Ж =
ЗГ. Из (10.12) и частей (в) и (г) следует, что каждая точка множества ЗГ-
ЗГ является конечной точкой отрезка световой геодезической на 91. В
частности, этот результат применим к 1+(Р) или к любому горизонту
частицы. Этот результат можно также обратить во времени, так что при ЗР =
L [ЗГ] каждая точка множества ЗР- ЗГ является начальной точкой отрезка
световой геодезической на 9". Это применимо, в частности, к L(P) или к
любому горизонту событий.
Другое следствие леммы I относится к структуре горизонтов Коши. Этот
результат не потребуется при доказательстве теоремы 1, но будет
использован в следующем разделе. Есть два простых пути для получения
горизонта Коши как части ППГ. Рассмотрим первый из них. Пусть Ж замкнуто
и полупростран-ственноподобно. Тогда множество int {О-(Ж) U /+ [Ж]}
является объединением /+(Р), где Pefl-W Граница этого множества есть ППГ,
содержащая горизонт Коши Н~(Ж) в качестве части [т. е. как пересечение
ППГ с О-(Ж)]. Второй путь можно описать следующим образом. Пусть, как и
прежде, Ж замкнуто и полупространственноподобно. Определим [42]
U7_(^) = /_(^)-D_(^). (10.13)
[\Р+{Ж) определяется аналогично.] Тогда Р ^ Ш-(Ж) тогда и только тогда,
когда Р является одновременно начальной точкой для продолжпмой в будущее
вре
152
10. ГРАВИТАЦИОННЫЙ КОЛЛАПС
Рис. 39, Полупростран-ственноподобная граница, содержащая горизонт Коши
прошлого для Ж.
менноподобной кривой а, не пересекающей Ж, и начальной точкой для
временноподобной кривой р, имеющей конечную точку на Ж (рис. 39). Ясно,
что W-(M) является открытым. А также, если Q " Р и Р^?-(Ж), то так
как Ж полупро-
странственноподобно. Следовательно,
W-{Zg) = I-[W-(3%)] (10.14)
и W- {Ж) является ППГ. Легко проверить, что
Н.(Ж) = ?-{Ж)[\0^{Ж) (10.15)
[из (9.5)]. и опять горизонт Коши получен как часть ППГ.
Предположим, что A'g 1W.(3f6), но X ф. край (Ж) [ср. с (9.13) и т. д.].
Тогда должна существовать либо a-кривая, либо p-кривая с начальной точкой
