Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
пространство-время. В разд. 11 мы должны будем рассмотреть иной тип
полноты, а именно полноту относительно временноподобных геодезических
("частицы, находящиеся в инерциальном движении, не могут исчезать").
Возможны также и другие типы, такие, как "полнота относительно кривых с
ограниченным ускорением". Это означает, что все продолжимые
') Рассматриваемые здесь миры предполагаются ориентируемыми во времени
(разд. 5). Однако все результаты (например, теоремы 1, II, III) будут
также применимы в соответствующей форме и без этого предположения. Для
всякого неориентируе-мого во времени лореицовского многообразия всегда
существует дважды накрывающее многообразие, которое является
ориентируемым во времени. (Рассмотрите пространство всех световых
подуконусов на многообразии, Это дает искомое двойное накрывающее; ср. с
[55].)
10. ГРАВИТАЦИОННЫЙ КОЛЛАПС
147
временноподобные кривые с ограниченной кривизной имеют бесконечную полную
длину1) (т. е. "частицы, испытывающие ограниченные силы, не могут
исчезать") . Все эти типы полноты неэквивалентны, что можно видеть на
специально подобранных примерах [35, 52].
Однако, по-видимому, нет большой разницы в том, какое из определений
применять. Возможно, определения неэквивалентны только в присутствии
областей бесконечно большой кривизны. В любом случае доказательство
существования таких областей приближает нас к цели - теоремам I, II, III.
К сожалению, еще не установлены результаты, которые позволили бы
непосредственно предсказать существование таких областей иа основании
"разумных" или "общих" физических предположений, хотя теорему 1 и
особенно теоремы II и III можно трактовать как сильное косвенное указание
на это [118*].
Условие Rablalb ^ 0 есть просто (7.35) и является следствием уравнений
Эйнштейна (7.1) (с /1-членом или без него) и положительности плотности
энергии (7.34). (В "собственной тетраде" тензора ТаЬ положительная
плотность означает, что Тю~^0, Тоо+Гц^О, Тю + Т22 ^ 0, Too + Т'зз ^ 0.)
Это неравенство является необходимым с физической точки зрения, особенно
потому, что его нарушение, по-видимому, приводит к серьезной проблеме,
связанной с квантовой теорией поля, а именно к явной катастрофической
неустойчивости вакуума. Но этот вопрос не вполне ясен.
Прежде чем приступать к доказательству теоремы I, будет полезно
установить некоторые леммы относительно структуры
полупространственноподобной границы. Напомним [ср. с (9.4) -(9.6)], что
любая ППГ является подмножеством Ф множества Ж вида g = /+ [Ж] или, ЧТО
ЭКВИВАЛЕНТНО, g - i~ \S\, (10.8)
где Ж, S'ci. Разделим ST на четыре части (некоторые из них могут быть
пустыми): ТР*и 9>+, ТР~ и S^o,
') Термин "длина" будет часто использоваться здесь для обозначения
"собственного времени" на временноподобной кривой.
7*6*
148
10. ГРАВИТАЦИОННЫЙ коллапс
Р и с. 38. Разные части полупрострапственнонодобной границы. (Световые
направления наклонены под углом 45°.)
определенные следующим образом. Если Хе?', то могут существовать или не
существовать точки У, Z е S', отличные от X, для которых
МХ)С/+(У), /_(X)c/_(Z). (10.9)
Разные возможности определяют подмножества (Ту, 9"-, У о согласно схеме
(10.10)
(? Y)
Интуитивный смысл этих подмножеств состоит в том, что 9s n представляет
собой световую часть 9>, причем 5^+ и - образованы соответственно
конечными и начальными токами a S^0 представляет собой
пространственноподобную часть 9Р (рис. 38). Более точное утверждение
содержится в следующей лемме, которая дает также несколько более удобное
условие того, что точка лежит в 9>к, или 9Р
Лемма I. Пусть A' е 9Р, где 9Р есть ППГ, определенная по (10.8). Пусть Л
- открытое множество, содержащее X. Тогда условие
а) 1+{Х)с1+[Х-Л] влечет за собой U ^+"
б) /_ (X) с /_ [% - Л] ВЛЕЧЕТ ЗА СОБОЙ X е 9s v U SP
Кроме того, отрезок световой геодезической на 9Р
в) проходит через X, если X е S" ,
г) ИМЕЕТ X В КАЧЕСТВЕ КОНЕЧНОЙ ТОЧКИ, ЕСЛИ
X <= 9>+<
д) ИМЕЕТ X В КАЧЕСТВЕ НАЧАЛЬНОЙ ТОЧКИ, ЕСЛИ X 6= 9s -
(Э Z) (Д Z)
Хе
У*
10. ГРАВИТАЦИОННЫЙ КОЛЛАПС
149
Чтобы доказать лемму I, предположим, во-первых, что 1+(Х) а 1+ \Ж - Л ].
Пусть Я- малый шар в нормальных координатах с центром в X и границей Я,
где Я cz Л. Рассмотрим последовательность (Хп) точек с Х"е/+(Х)Г\Я,
которая сходится к X. Для каждого Х" существует Шп(=Ж- Л с Wn <с Хп. В Я
содержится связная часть световой кривой, соединяющей Wn и Хп с начальной
точкой и ко-
нечной точкой Х". Так как Я компактно, существует точка У на Я, такая,
что последовательность (Уп) сходится к У. В нормальной координатной
системе У и X соединяются геодезической к, проходящей через X. Легко
видеть, что к не может быть пространственноподобной (для малого Я). Она
не может быть и временноподобной, так как тогда мы имели бы У <С X, так
что Wn <С У)г € ^ для некоторого п, что противоречит Хф1+[Ж]. Итак, к
является световой геодезической. Следовательно, 1+(Х) сг /+(У). Далее, Уп
е 1+ [Ж] и поэтому Уе/+ \Ж\. Так как X [Ж\, то У ^ 1+{Ж] и У е 9. Это
