Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
постоянной А должно выполняться неравенство
- -8лр00<А, (157.7)
которое естественным образом ограничивает величину радиуса,
если поведение модели должно быть действительным. При этом равенство
-|г-8лр00 = Л (157.8)
указывает, при каком значении радиус R прекращает свое изменение во
времени или начинает изменяться в обратном направлении.
б) Зависимость критической функции от R. Чтобы исследовать поведение
критической величины
8лРо0) = ~ (3 - 8-^^) (157.9)
как функции радиуса R по мере того, как R в условиях заданной модели
меняется во времени, было бы желательно хотя бы приблизительно построить
график зависимости Q(R) от R.
Дифференцируя Q по R и приравнивая производную нулю,
получаем
dQ - _ б ^Роо _ А
dR R* ° dR ~и'
используя (157.5),
Щ G I 24л (р0в + /?*) "п 7 1 С -7 1 А \
~Ж - - цг + R °* (157.10)
26*
404
ГЛ. X. космология
Уравнение (157.10) выражает необходимое условие максимума, минимума или
точки перегиба функции. Объединяя
(157.10) с (157.9), получаем значение функции Q(R) в этих точках:
Q = 4r+6np0 (>0). (157.11)
Дифференцируя второй раз, находим
d2Q _ 18 24л (pop + р0) , 24л dp00 , 24л dp0 (<Ц
О,
______________________________________________L -Г(tm)" _1_ -Г"., ;
- о
dR2 R* R2 ^ R dR ^ R dR и>
или, используя (157.10) и (157.5),
dPo f<'] Роо + Ро dR (-) Л '
(157.12)
откуда в зависимости-от знака (<), (==), (>) имеем достаточное условие
того, что данная точка является соответственно максимумом, точкой
перегиба или минимумом функции Q{R). Причем из (157.12) видно, что
рассматриваемая кривая могла бы
иметь точки перегиба или минимума только в том случае, если бы давление
могло возрастать при расширении.
Опираясь на полученные результаты, можно теперь прикинуть ход кривой Q{R)
в зависимости от R, как показано на рис. 6, по мере того как R возрастает
со временем.
Те участки кривой,относительно которых мы имеем достаточно полную
информацию, изображены сплош-
ной линией. Это - участки А, В и С. Они могут быть Рис. 6.
интерпретированы следую-
щим образом. (А) Согласно (157.4) величина рооД3 с ростом R может только
убывать или оставаться постоянной. Поэтому, исключая неинтересный для
нас в настоящий момент случай абсолютно пустой
модели,
из (157.9) получаем, что Q возрастает асимптотически от -
ос
при R = 0 до пересечения с осью Q - 0 и затем продолжает возрастать по
мере увеличения R. При этом никаких точек пере-
§ 157. ВРЕМЕННАЯ ЭВОЛЮЦИЯ ЗАКРЫТЫХ МОДЕЛЕЙ
405
гнба или максимумов до пересечения с осью Q = 0 быть не может, так как
согласно (157.11) такие точки могут быть только при положительных
значениях Q. (В) Если R продолжает возрастать, то кривая Q{R) в конце
концов должна достичь хотя бы одного максимума, так как из (157.9)
следует, что рано или поздно Q{R) будет убывать с возрастанием R. (С)
Наконец, при стремлении R к бесконечности кривая Q(R) согласно
(157.9) асимптотически приближается к нулю, как 3IR2.
Те участки кривой а, Ь, с, относительно которых мы не можем сказать
ничего определенного, показаны на чертеже штриховыми линиями. Эти участки
могут содержать как точки перегиба, например, на участке а, так и точки
минимума с последующими точками максимума, как изображено на участках b и
с. Из (157.11) следует, что все подобные особенности могут находиться
только в пределах между Q-0 и Q = QMaгде <?макс - наибольший из всех
максимумов на кривой, расположенный на участке В на рис. 6. Более того,
из (157.12) вытекает, что все такие точки могут существовать только в том
случае, если допустить, что давление вещества на некоторых участках
кривой может во время процесса расширения возрастать.
Пользуясь построенной кривой, можно сделать некоторые предсказания
относительно развития модели во времени, когда космологическая постоянная
А принимает разные значения. Так как А не меняется при расширении и имеет
ту же размерность, что и Q, то ее можно представить горизонтальными
линиями, как показано на рис. 6. При этом согласно (157.7) критическая
величина
должна быть меньше, чем А во время расширения, если же она становится
равной А, то развитие модели либо изменяет свое направление, либо
прекращается вовсе. Поэтому различные виды движения, к обсуждению которых
мы сейчас и переходим, будут соответствовать горизонтальным прямым
A=const, лежащим выше критической кривой Q(R), а характер движения будет
определяться точками, где горизонтали пересекают критическую кривую.
в) А>Ае. Монотонные Вселенные типа М\. Наибольший максимум критической
кривой Q приходится на участок В. Обозначим этот максимум ЛЕ, поскольку в
дальнейшем будет видно, что эту величину можно трактовать как значение Л
в некоторой статической эйнштейновской Вселенной.
При Л, большем Ае, развитие Вселенной во времени определяется однозначно,
так как при этом прямая A=const с критической кривой не пересекается, и
модель может только
405
ГЛ. X. космология
расширяться, начиная от некоторого сингулярного состояния с радиусом
