Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
Теперь мы можем задать себе вопрос: какие изменения в статической
эйнштейновской Вселенной могут привести к тому, что она вдруг из
состояния покоя начнет сжиматься или расширяться? В том случае, когда
давление жидкости, заполняющей модель, уменьшается при расширении и
увеличивается при сжатии, на этот вопрос легко дать ответ, опираясь
на общую фор-
мулу для давления в однородной нестатической модели:
8яр0 = -^-Я-|я2 + Л. (159.1)
но
Предположим, что в начальный момент модель находится в статическом
эйнштейновском состоянии, тогда выражение (159.1) в этот момент должно
свестись к обычному выражению для давления в эйнштейновской Вселенной:
8яр0 = - Л; (159.2)
при этом
g = О и g = 0, (159.3)
a Roehs равняется радиусу статической эйнштейновской Вселенной. Поэтому,
если в этой не расширяющейся и не сжимающейся в данный момент модели
предположить наличие каких-нибудь процессов, которые приводят к изменению
давления со временем, то, согласно (159.1) и (159.3), это изменение
давления будет в свою очередь воздействовать на изменение g(t), так как
~*nw = w- <159'4)
Отсюда легко видеть, что если под действием какой-нибудь причины давление
в модели упадет, то это тотчас же приведет к расширению, которое будет
прогрессировать, так как, согласно предположению, расширение в свою
очередь вызовет дальнейшее падение давления. И наоборот, увеличение
давления приведет к прогрессирующему сжатию.
Следовательно, если в какой-то момент Вселенная была бы эйншейновского
типа и свободное излучение в ней стало бы переходить в вещество или
свободно движущиеся частицы стали бы конденсироваться, то Вселенная
тотчас же начала бы расширяться *). И наоборот, если бы вещество стало
переходить в излучение, модель тотчас же начала бы сокращаться. Таким
*) Эти процессы были подробно исследованы Лемэтром [69].
414
гл. х. космология
образом, мы можем утверждать не только то, что равновесие статической
эйнштейновской Вселенной неустойчиво, но что легко мыслимы те процессы,
которые могут послужить толчком к прогрессирующему изменению радиуса
модели в сторону от равновесного значения.
§ 160. Модели с постоянным количеством вещества
Теперь мы можем подробнее исследовать временное развитие некоторых
конкретных моделей, которые выбраны специально для иллюстрации различных
типов эволюции.
Рассмотрим сначала закрытые модели, содержащие смесь из постоянного
количества несвязанного вещества (туманности, пыль), создающего ничтожное
давление, и излучения, чье давление определяется плотностью. Для таких
моделей общее выражение для радиуса в зависимости от времени было
получено впервые Лемэтром [96].
Так как давление излучения составляет одну треть от плотности его
энергии, то энергетическое уравнение (157.3) для этих моделей можно,
очевидно, записать в виде
![(рт + 3/>о)Я31+Л,57(Я3) = 0, (160.1)
где рт - плотность вещества. Однако поскольку вещество должно само по
себе сохраняться, то
pm/?3=const и pofl4 = const, откуда, пользуясь обозначениями Лемэтра,
получаем 8прт = 8я/?0 = 8яр00 = 8л (рт + Зро) = (160.2)
где а и - константы.
Подставляя эти выражения в общее уравнение (157.6), находим
__________________
f-± + + (160.3)
Это уравнение в явном виде определяет зависимость радиуса от времени для
тех моделей, в которых вещество сохраняется и создает пренебрежимо малое
давление. Частный случай, когдя {1 = 0, был впервые исследован Фридманом.
В этом случае равнс нулю полное давление и сохраняется не только
вещество, но у полная энергия.
Решение вышеприведенного уравнения было специально рас смотрено де
Ситтером [101]. Несколько более общее уравнение, учитывающее давление
вещества и приспособленное как к откры тым, так и к закрытым моделям,
было изучено Экманом [102]
§ 161. МОДЕЛИ, РАСШИРЯЮЩИЕСЯ ИЗ СТАТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ 415
§ 161. Модели, расширяющиеся из статического начального состояния
В том случае, когда расширяющаяся модель в начальном состоянии совпадает
со статической Вселенной Эйнштейна, предыдущее уравнение, выражающее
зависимость радиуса от времени, легко интегрируется.
Сопоставляя выражения для давления я плотности (160.2) с выражениями
(139.3), (139.4) для давления и плотности в статической Вселенной
Эйнштейна, находим, что в моделях подобного рода
где Re - радиус начального статического состояния. Подставляя эти
выражения в (160.3), после довольно длинных выкладок получаем простое
уравнение:
где осталось только два параметра: RE и р.
Чтобы сделать это выражение удобным для интегрирования, выразим R в
терминах относительного приращения к первоначальному значению RE, т. е.
обозначим
Теперь (161.3) может быть переписано следующим образом:
(161.1)
и
(161.2)
3T = 7f^j/ (l+^)(R' + 2RER) + 3H, (161.3)
R - Re (1 + -V'), x = -^
(161.4)
(161.5)
где ради краткости обозначено
VX = У хг + 4 х + С2
(161.6)
416
ГЛ. X. космология
Интегрируя (161.5), получаем
УЗ R,
Vi + P/Rl
ln(x + VX + 2) \ ~ In -+ ~'
с х + ух + Сл
+ const, (161.8)
