Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Пенроуз Р. -> "Структура пространства-времени" -> 141

Структура пространства-времени - Пенроуз Р.

Пенроуз Р. Структура пространства-времени — М.: Мир, 1972. — 184 c.
Скачать (прямая ссылка): strukturaprostranstvavremeni1972.pdf
Предыдущая << 1 .. 135 136 137 138 139 140 < 141 > 142 143 144 145 146 147 .. 186 >> Следующая

главы, в которой g(t) будет представлена в виде ряда по степеням t.
Чтобы закончить несколько затянувшееся рассмотрение допплер-эффекта в
расширяющихся или сжимающихся моделях, покажем с расчетом на будущее, что
длина волны или частота отдельного светового кванта, или фотона,
измеряемая наблюдателями, выстроенными вдоль его пути, будет меняться со
временем определенным образом при условии, что эти наблюдатели покоятся
относительно г, 0, ф. Для этого обратимся к нашей точной формуле (155.6)
для длины волны (Х+6Х) света, испущенного в момент t\ источником при
произвольном его положении и скорости. Этот свет достигает наблюдателя,
покоящегося
V s St
(156.4)
ds2 = -
r2dd2 -f- r2sin2 0с/ф2^ -f dt2. (156.5)
(156.6)
157. ВРЕМЕННАЯ ЭВОЛЮЦИЯ ЗАКРЫТЫХ МОДЕЛИ"!
401
относительно выбранных координат, в момент t2. Если мы расставим
несколько таких наблюдателей вдоль траектории фотона, то очевидно, что
единственной величиной, меняющейся в этой формуле от наблюдателя к
наблюдателю, будет g2, которая представляет собой g(t) в моменты
наблюдений.
Возьмем логарифмическую производную от (155.6) по времени тогда для
различных наблюдателей будем иметь
d In (X + 8к) _ 1 dga (\М7\
dt 2 dt (loo.I)
или, переходя к частотам, запишем это выражение в более удобном виде:
1______________________LJ?JL П56 81
v dt ~ 2 dt ' (iOO.ti)
где v - частота любого фотона, измеренная наблюдателем, покоящимся
относительно системы координат г, 0, tp, a g есть значение функции g(t),
характеризующей модель как целое в интересующий нас момент времени.
§ 157. Временная эволюция закрытых моделей
Вывод выражения для нестатического интервала
ds* -----[1 +^"/4flgja r4Q2 + Sin2 9 ^ + dt*
для однородных космологических моделей не накладывал непосредственно
никаких ограничений на поведение этих моделей в зависимости от времени.
Поэтому, чтобы определить характер эволюции, мы должны обсудить вид не
конкретизировавшейся до сих пор функции g(t). К этому мы теперь и
приступим с нескольких сторон.
Согласно уравнениям (150.7) и (150.8) давление и плотность жидкости,
заполняющей по нашему предположению модель, явно зависят от g(t) и ее
производных. Следовательно, можно считать, что временное поведение модели
определяется свойствами этой жидкости. В этом параграфе, посвященном
закрытым моделям Вселенной с вещественным ^о, и в следующем параграфе,
посвященном открытым моделям с Ro бесконечным или мнимым, мы обсудим с
общих позиций различные типы временного поведения, когда на свойства
жидкости накладываются только самые общие ограничения, такие, как
требование неотрицательности давления и плотности. В следующих параграфах
этой части настоящей главы мы обсудим эволюцию Вселенной при более
определенных предположениях относительно природы модели и
26 Р. Толмен
402
ГЛ. X. космология
жидкости, заполняющей ее. В III части настоящей главы мы вернемся к
термодинамическим аспектам тех изменений, которые могут иметь место в
космологических моделях в зависимости от времени, и, наконец, в IV части,
при сравнении с наблюдениями, мы будем иметь возможность подойти к
эволюции более феноменологически, разлагая g(t) в ряд по степеням t с
коэффициентами, определяемыми по мере возможности из данных наблюдений но
красному смещению, давлению и плотности реальной Вселенной.
а) Общие черты эволюции (R вещественно, роо^О, р0^0)*). Для начала
предположим, что модель закрыта и радиус Ro действителен. Далее,
предположим, что в веществе, заполняющем модель, нет сил, препятствующих
растяжению, так что плотность роо и давление ро из физических соображений
могут быть только нулем или больше нуля.
В качестве уравнений, связывающих плотность и давление этого вещества с
g(t), удобно взять (151.6) и (150.8):
^(рмеШ'Л + p0^(e'i^ = 0,
8лр0
L-e-g(0 + ±.( *&.)*-
4 h 4 Idt I
(157.1)
Л.
Эти уравнения эквивалентны ранее полученным уравнениям
(150.7) и (150.8). Их можно упростить, если ввести радиус модели
/? = ?//."<>. (157.2)
При этом первое из уравнений - уравнение для энергии - принимает вид
-й-(РооКЧ+Р"1Г (/?•)= о
откуда
d (Pooft3) о п П2
dR Р о
И
dPrto 3 (р0 + р00)
dR * R
Таким образом, из предположений, сделанных относительно R, р-JO и Ра,
следует, что величины (роо^з) и роо с увеличением
(157.3)
(157.4)
(157.5)
*) Содержание этого раздела следует работе [95].
§ 157. ВРЕМЕННАЯ ЭВОЛЮЦИЯ ЗАКРЫТЫХ МОДЕЛЕЙ
403
R могут только уменьшаться или оставаться постоянными. Более того, из
(157.5) видно, что при стремлении радиуса к бесконечности плотность
жидкости стремится к нулю, и, следовательно, все бесконечно расширяющиеся
модели в конце концов перерождаются в модель де Ситтера.
Подставляя (157.2) во второе уравнение (157.1), получаем
dR \2 _ 8лр00/?2 , \R* ,
dt ) 3^3
Отсюда легко определить скорость изменения радиуса модели со временем:
dR dt
± Ь (157.6)
Так как величина, стоящая под корнем, должна быть обязательно
положительной или нулем, то при любом заданном значении космологической
Предыдущая << 1 .. 135 136 137 138 139 140 < 141 > 142 143 144 145 146 147 .. 186 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed