Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
рассматриваемой области координат. Поэтому, комбинируя (151.3) и (154.4),
мы можем на-писать ^
(Роо^ио) Ро (^уо) ^ О- (151.5)
В результате получаем соотношение между изменением энергии (рообсд)
элемента жидкости и работой, производимой данным элементом над окружающей
средой при адиабатическом изменении объема.
Из уравнений (151.4) и (151.5) вытекает, что объем каждого элемента
жидкости, заполняющей данную модель, должен возрастать со временем, если
g(t) -возрастающая функция времени, и уменьшаться, если g(i) убывает.
Более того, если р0-¦ величина положительная и больше нуля, то и
собственная энергия каждого элемента жидкости в данной модели будет либо
убывать, если g(t) возрастает, либо возрастать, если g(t) убывает.
Следозательно, за исключением частного случая, когда давление равно нулю,
полная собственная энергия жидкости, вообще говоря, оставаться постоянной
не будет, и закон сохранения энергии будет соблюден только при учете
потенциальной энергии гравитационного поля, которую можно ввести тем же
способом, как и в § 87.
Имея в виду дальнейшее, перепишем уравнение (151.3) в следующем виде:
Это, очевидно, можно сделать благодаря взаимной независимости координат
г, 0, ф и t.
Справедливость последнего уравнения легко проверить прямой подстановкой
выражений (150.7) и (150.8) для р0о и ро. Это и естественно, так как
фундаментальное уравнение для компонент тензора энергии - импульса
содержит, как мы уже видели, всю ту информацию, какая содержится в
уравнениях механики
поскольку последние могут быть получены из него.
(151.6)
25*
388
ГЛ. X. космология
В дальнейшем нам часто будет удобно рассматривать (151.6) и (150.8)
вместе, поскольку эти уравнения связывают давление и плотность жидкости с
интервалом и позволяют уравнение второго порядка (150.7) заменить
уравнением первого порядка (151.6).
§ 152. Изменение количества вещества со временем
С помощью приближенного выражения (150.9) для той части полной плотности
энергии
р(tm)=роо-Зро, (152.1)
которая связана только с массой туманностей и межгалактического вещества,
мы можем проследить изменение массы вещества, заключенного в модели, в
зависимости от времени [99]. Подставляя (152.1) в (151.5), получаем
§ (pmSw0) +3jf (AM) + Ро Zt = 0. (152.2)
Полагая, что
•M=pm6t>o (152.3)
представляет собой полную собственную массу туманностей и других частиц в
заданном элементе объема, и используя (151.4), перепишем уравнение
(152.2) в следующем виде:
L ЛМ _ 6Podg , 3_dpo пцод'!
Mdt pmdt^pmdf
Этим уравнением и определяется относительная скорость изменения
собственной массы вещества, находящегося внутри изучаемой модели.
Если предположить, что давление постоянно и равно нулю, то окажется, что
и скорость изменения массы будет равна нулю, иными словами, будет
выполняться закон сохранения вещества
и одновременно закон сохранения полной собственной энергии,
который уже упоминался для этого частного случая при обсуждении уравнения
(151.5).
Точно так же закон сохранения вещества будет выполняться и в том случае,
когда давление подчиняется условию
6'"о4г+3^ = 0, (152.5)
или в другом виде
3 о) + Ро -JT (Н) = о- (152-6)
Это условие, как будет видно дальше, выполняется в такой модели, которая
содержит неизменное количество вещества, создающего пренебрежимо малое
давление, и содержит излуче-
§ 153. ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦ В МОДЕЛИ
389
ние с давлением рт=рг/3. Эта модель будет рассмотрена позднее, в § 160.
Однако, вообще говоря, было бы желательно допустить некоторые изменения
собственной массы вещества, заключенной внутри модели, так как изменения
подобного рода в реальной Вселенной, по-видимому, происходят. Например,
согласно эйнштейновскому соотношению между массой и энергией, туманности
при излучении света теряют массу вне зависимости оттого, как в конечном
счете происходит это излучение, с помощью ли процессов разрушения, таких,
как аннигиляция электронов и протонов, или же с помощью процессов
синтеза, таких, как образование гелия из водорода, сопровождающееся
уменьшением суммарной массы *). Точно так же, если происхождение
космических лучей связано с аннигиляцией межгалактических частиц вещества
или с синтезом более сложных атомов из атомов водорода, то в этом случае
полное количество вещества во Вселенной тоже должно уменьшаться.
По некоторым причинам (см. §§ 165 и 184) очень удобно переписать
уравнение (152.4) в таком виде, чтобы была видна прямая зависимость между
скоростью уменьшения массы и изменением со временем функции g(t). С
помощью полученных ранее выражений (150.7) и (150.8) для р0о и/?0 после
некоторых выкладок легко получаем
~ 5
_1_ &м__________________3_
м dt ~~ 2
Ро° + "ГРо 1 (¦¦ V
4лр", ,
'Ш \ g
g, (152.7)
где точки означают дифференцирование по времени. Это уравнение для
относительной скорости уменьшения массы вещества в модели показывает, что
аннигиляция вещества с необходимостью приводит к нестатичности модели и к
появлению зависимости g от t. Это соображение подкрепляет один из
