Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
она справедлива, когда промежуток времени достаточно мал, т. е. когда
можно пренебречь производными по времени от g выше первого порядка. Этот
результат может иметь отношение и к космическим лучам, приходящим из
межгалактических пространств.
В случае закрытой модели расширяющейся Вселенной соотношение (154.6)
между г и (j и t2 может любопытным образом ограничить величину
координатного расстояния, которое свет может пройти за конечное время.
Представим себе - просто для иллюстрации - модель, в которой g(t) имеет в
точности линейную зависимость (154.7) от t при всех временах от мш-vyc до
плюс бесконечности, а радиус имеет действительную величину R - R0ent,
меняющуюся от нуля до бесконечности Между t=-оо и t--f оо. Тогда, с одной
стороны, из (154.8) очевидно, что свет, испущенный в заданной точке г,
может быть зарегистрирован в начале координат в заданный момент t2 при
условии, что момент испускания tu который может стремиться и к минус
бесконечности, выбран достаточно рано. С другой стороны, очевидно, что
свет, испущенный в начале координат во время /ь сможет прейти расстояние
не большее, чем
е~ш,
r==2R"lZ-m^' (154.9)
причем для этого ему понадобится время t=оо. Следовательно, в зависимости
от величин Н и Ro существует такое критическое стартовое время, после
которого свет уже не в состоянии обойти модель целиком. Таким образом,
при сделанных предположениях неподвижный наблюдатель, погруженный в
жидкость, заполняющую модель, в принципе может получить информацию о
достаточно ранних состояниях всех частей Вселенной, но узнать их
поведение позднее определенной эпохи он не сможет, даже если будет ждать
бесконечно долгое время. Конечно, все сказанное относится только к
специальной модели, но для расширения кругозора иногда полезно обсудить и
подобного рода возмож-
396
ГЛ. X. космология
§ 155. Допплер-эффект в модели
Теперь мы можем рассмотреть влияние допплер-эффекта на свет, приходящий
от удаленных объектов, считая по-прежнему, что наша модель задается
интервалом
Так как нам понадобится сравнивать длины волн света от различных
объектов, наблюдаемых из одного и того же места, то удобно закрепить
наблюдателя в начале координат; тогда светящийся источник может
находиться на каком угодно расстоянии г, которое при этом может меняться
со временем. После этого уже нетрудно получить выражение для обобщенного
допплер-эффекта, если следовать схеме, изложенной в § 116.
В соответствии с выражением для радиальной скорости света (154.4) можно
записать (154.5):
Это уравнение связывает "время" ti испускания света источником,
помещенным в г, и "время" t2, когда свет достигает начала координат.
Дифференцируя это выражение по времени испускания 11, получаем уравнение,
связывающее интервал "времени" 6^1 между двумя вспышками света на
источнике с интервалом "времени" между этими же вспышками, принятыми
наблюдателем:
где g[ и g2 обозначают g(t) соответственно в моменты ti и t2, а (drjdt)-
радиальная компонента координатной скорости источника во время излучения.
Если учесть выражения для собственных расстояний и времен, отвечающих
рассматриваемой формуле интервала, то предыдущее уравнение можно
переписать в несколько ином виде:
где с -скорость света, а иг - радиальная компонента скорости источника,
величина которой определяется обычным образом в системе локального
наблюдателя, неподвижного относительно г, 0 И ф.
(155.2)
(155.3)
с
§ 155. ДОППЛЕР-ЭФФЕКТ В МОДЕЛИ
397
Однако из формулы интервала ds2 следует, что промежуток
собственного времени 6*" между двумя вспышками, измеренный наблюдателем,
движущимся вместе с источником, будет связан с координатным временем 6*i
следующим образом:
с,0 j______Д!_____ [АГV | r2 . r2njn2Q d(P* 'j I ]1
1 I1 +r2;4Ro]2 v d/2 dt* 1 gin dt* J I x' откуда, опять же с учетом
формулы интервала, получаем
6f? = 6/х V1 - и2/с2 , (155.4)
где и есть полная скорость источника во время излучения, измеряемая
обычным образом в системе локального наблюдателя, неподвижного
относительно г, 0, ф. Далее, промежуток собственного времени между двумя
световыми вспышками, принятыми в центре наблюдателем, неподвижным
относительно начала
отсчета, очевидно, равен
6*° = 6*2. (155.5)
Поэтому, подставляя (155.4) и (155.5) в (155.3) и приравнивая отношение
собственных периодов испущенного и принятого света отношению
соответствующих длин волн, мы получаем полное выражение для обобщенного
допплер-эффекта:
i + , "Д (1556)
б/? У1 - и2/с3
с
где А.+6А,, очевидно, представляет собой длину волны света,
непосредственно наблюдаемого в начале координат, в то время как К
является длиной волны того же самого света, но для наблюдателя,
находящегося в источнике и движущегося вместе с ним.
Наиболее важным фактором в этом выражении для обобщенного допплер-эффекта
является e'/ates-so, Этот множитель своим происхождением обязан общему
движению частиц (туманностей) в модели, которое происходит из-за того,
что g(t) меняется со временем. Другим важным фактором является множитель
