Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Поворот на угол ср3 около оси Oz, за которым следуют поворот на угол Cp2 около оси Oy и поворот на угол Cp1 около оси Ох, описывается следующей матрицей направляющих косинусов (первоначально I=^I):
В3(<р3)В2(ч>2)Ві(ц>і), (7.14.1)
что в точности совпадает с (7.13.4).
Таким образом, если подвижной триэдр OABC первоначально совпадает с неподвижным триэдром Oxyz, то повороты, совершаемые последовательно около осей OA, OB, ОС, дают тот же результат, что и повороты около осей Ох, Oy, Oz, совершаемые в обратном порядке.
Доказанная выше замечательная теорема позволяет, вместо поворотов около мгновенных положений подвижных осей, рассматривать повороты около неподвижных осей. Частный случай этой теоремы мы имели в конце § 7.11.
Пользуясь этой теоремой, можно в примерах 7.9А и 7.9В выразить вектор поворота Т, переводящий триэдр OABC из начального положения в конечное, через углы Эйлера и через углы Cp1, Cp2, ср3. Соответствующие формулы поворота дают еще один способ выражения метрицы I через углы Эйлера или через углы Cp1, ср2, ср3, но практически этот путь оказывается менее удобным, чем рассмотренный ранее. Если, например, в формуле (7.9.25) в качестве вектора /• выбрать вектор (1, 0, 0), то равенство
* = (с2с3, CiS3 + SiS2C3, SiS3 — C1S2C3) (7.14.2)
определит элементы первой строки матрицы (7.12.1).
§ 7.15. Определение угловой скорости с помощью матриц I и I. Допустим, что твердое тело переводится из данного положения в новое посредством трех последовательных поворотов: поворота на угол Cp1 около оси OA, затем поворота на угол ср2 около нового положения оси OjB и поворота на угол фз около нового положения оси ОС. Как мы видели в § 7.13, матрица направляющих косинусов для конечного положения триэдра имеет вид
-Кз (Фз) R2 Ы Ri Ы I, (7.15.1)
причем в общем случае эти операции не коммутативны.
Если, однако, углы поворота бесконечно малы и равны, скажем* бф4, бф2, бф3, так что квадратами и произведениями этих величин можно пренебречь, то порядок осуществления поворотов безразличен. Имеем
/1 бфз 0\ / 1 0 -бф2\ /1 0 .0 \
г + 81 = - бф3 і о І о і о Io і бфл I г = Vo 0 1/ \бф2 о і / \о -бФі і /
/ 1 бф3 — бф2\
= -бф3 1 бсРі I. (7.15.2)
\ бф2 — бф, 1 /
§ 7.16]
СОСТАВЛЯЮЩИЕ ВЕКТОРА УГЛОВОЙ СКОРОСТИ
121-
Следовательно,
Таким образом,
О бф3
б?= I -бфз О 6«P1 I?. (7.15.3)
бф2 —бф!
? + Ql = 0. (7.15.4)
0
— со3
«2 \
CO3
О
— CO1 ,
(7.15.5)
— CO2
CO1
о/
Здесь -^- (или сокращенно І) — матрица, составленная из производных от элементов матрицы I, a Q — кососимметрическая матрица
где W1, со2, Co3 — составляющие вектора угловой скорости по осям OA, OB, ОС.
Геометрический смысл уравнения (7.15.4) очевиден. Так, например, элементы первого столбца матрицы I представляют собой составляющие по осям триэдра OABC единичного вектора вдоль фиксированного направления Ох. Равенство нулю элементов первого столбца слева в (7.15.4) эквивалентно известному результату
и + со X и = 0. (7.15.6)
В этой формуле и — единичный вектор вдоль оси Ох, а со — угловая скорость относительно триэдра Oxyz.
Так как матрица I ортогональна, то из (7.15.4) получаем
Q= — IV. (7.15.7)
Это уравнение выражает угловую скорость через матрицы I и I. Нетрудно
непосредственно убедиться в том, что IV представляет собой кососимметри-ческую матрицу.
§ 7.16. Составляющие вектора угловой скорости. Определим теперь составляющие вектора угловой скорости твердого тела по направлениям OA, OB, ОС. Сначала будем предполагать, что ориентация тела определяется углами Эйлера, а затем рассмотрим ориентацию тела с помощью углов фІ5 ф2, Фз-
1. Углы Эйлера. Угловая скорость есть векторная сумма трех
векторов: вектора, равного по величине ф и направленного по оси Oz,
вектора, равного по величине 0 и направленного по оси OS, и вектора,
равного по величине гр и направленного по оси ОС (рис. 16). Обозначая через Co1, со2, Co3 составляющие вектора угловой скорости соответственно по осям OA, OB, ОС, можем написать
Co1 = 9 sin гр — ф sin 9 cos гр, CO2 = 9 cos гр+ ф sin 9 sin гр, CO3= фсоз9+гр.
(7.16.1))
122
теория поворотов
СГл. VII
Несимметричный характер углов Эйлера порождает следующий любопытный парадокс. Если в некоторый момент времени триэдр OABC совпадает с триэдром Oxyz, так что 0 = ср = яр = 0, то формулы (7.16.1) дают
oil = О, CO2 = 0, Co3 = cp -J- яр. Составляющая Co1 оказывается равной нулю, каковы бы ни были заданные
нами конечные значения 9, ср и ар. Поэтому пользоваться углами Эйлера в тех задачах, где триэдр OABC в некоторый момент совпадает с триэдром Oxyz, не очень удобно, за исключением тех случаев, когда в этот момент вектор угловой скорости лежит в плоскости Oyz. Вообще, если 0 = 0, то из формул (7.16.1) следует, что сої = Co2 tg ар, что в общем случае неверно.
2. У г л ы Cp1, ср2, <р3. В этом случае угловая скорость представляет векторную сумму трех следующих векторов: вектора, равного по величине Cp1 и направленного вдоль оси Ох, вектора, равного по величине Cp2 и направленного вдоль оси OQ, и вектора, равного по величине <р3 и направленного вдоль оси ОС (рис. 17). Обозначая через Co1, со2, со3 составляющие вектора угловой скорости соответственно по осям OA, OB, ОС, будем иметь
