Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Парс Л.А. -> "Аналитическая динамика" -> 52

Аналитическая динамика - Парс Л.А.

Парс Л.А. Аналитическая динамика. Под редакцией Рубашева А.Н. — М.:Наука, 1971. — 636 c.
Скачать (прямая ссылка): analitdinamik1971.djvu
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 290 >> Следующая


где

W=VR[I =

(^Ii ^11^12 hihz\ i 0 Z13 Z12\ hzhi 1i2 Уїз +И I13 0 -Z11 . (7.6.10) х Z13Z11 Z13Z12 Z13 / \—Z12 Z11 0 /

Ось вращения, определяющая единичный вектор п, имеет направляющие косинусы Z11, Z12, Z13. В векторной форме формула (7.6.9) имеет вид

« = Y*' + (1 —у) (n-r) п+ап X г,

что и требовалось показать.

§ 7.7. Полуобороты и отражения. Любой поворот тела можно также осуществить, например, путем двух полуоборотов (т. е. поворотов на угол л) около двух пересекающихся прямых. Пусть OA, OB —две прямые, прохо-

дящие через точку О и образующие между собой угол Полуоборот

около OA и последующий полуоборот около OB эквивалентны повороту на угол а (в направлении от OA к OB) около оси OL, перпендикулярной как к OA, так и к OB. Докажем это. Согласно теореме Эйлера (§ 7.2) два полуоборота эквивалентны одному повороту, и этот поворот должен происходить около оси OL, так как точки на прямой OL при этих полуоборотах не получают перемещения. Точка, первоначально находившаяся на прямой OA, при первом полуобороте остается неподвижной, а при втором полуобороте поворачивается на угол а и оказывается на прямой OA' (рис. 14, а). Теорема, таким образом, доказана.

112 ТЕОРИЯ ПОВОРОТОВ [Гл. VIlI

Если; через и, v обозначить единичные векторы вдоль направлений OAt OB, а через п, как и ранее, единичный вектор вдоль вектора поворота Т, направленного по оси вращения OL, то будем иметь

1 1

MXt) = sin -2а'п = cos у а-Т.

(7.7.1)

Рис. 14.

Полуоборот около оси а и последующий полуоборот около параллельной оси Ъ эквивалентны поступательному перемещению тела. Оно совершается от а к & по прямой, перпендикулярной к а и Ъ, и равно удвоенному расстоянию между осями а и Ъ. Это понятно, так как тело не изменяет своей ориентации, а направление и величина перемещения становятся очевидными, если рассмотреть точку тела, первоначально находившуюся на оси а.

Рассмотрим теперь результат двух последовательных полуоборотов около скрещивающихся осей а и Ъ. Пусть AB будет общим перпендикуляром к этим осям (причем точка А расположена на оси а, а точка В — на оси Ъ), и пусть а' будет осью, проходящей через точку В параллельно

оси а (рис. 14, Ъ). Можно ввести два полуоборота около оси а', не изменяя конечного результата. Тогда полуоборот около оси а, за которым следует полуоборот около оси а', переместит тело в направлении AB на расстояние 2AB. Затем полуоборот около оси а' и последующий полуоборот около оси Ъ произведут поворот тела около оси AB на угол а, равный удвоенному углу между осями а и Ъ. В результате мы получим винтовое перемещение вдоль оси AB. Таким образом, любое перемещение твердого тела можно осуществить посредством последовательных полуоборотов около двух надлежащим образом выбранных осей.

Кроме того, поворот тела можно осуществить посредством последовательных отражений в двух плоскостях. Одного отражения, естественно, недостаточно, так как при этом получается обратное отражение, но при повторном отражении мы получаем правильное положение тела, и, таким образом, два последовательных отражения дают возможное перемещение. Это перемещение представляет собой поворот тела около линии пересечения плоскостей отражения; угол поворота равен удвоенному углу между плоскостями.

Основываясь на эквивалентности вращения двум полуоборотам или двум отражениям, можно дать другие доказательства формулы поворота, что может представить интерес для читателя.

§ 7.8. Кватернионная форма записи формулы поворота. G помощью скалярной величины а и вектора А. с составляющими X, Y, Z можно построить кватернион:

q = a + Xi + Yj + Zk. (7.8.1)

Иногда бывает удобно, не боясь, что это приведет к путанице, обозначать символом Л как вектор X, Y, Z, так и ассоциированный кватернион

О + Xi + Yj + Zk,

так что

q = a + A. (7.8.2)

§ 7.9]

СЛОЖЕНИЕ ВРАЩЕНИЙ

ИЗ

Составляя произведение

qq' = (a + A) (a'+ А'),

находим

qq' = (aa'—A.A') + a'A+aA'+AxA'. (7.8.3)

Векторы в правой части этого равенства следует рассматривать как ассоциированные кватернионы.

Для изучения вращений нам понадобится кватернион

q = с + Ц + ті; + Eft = с (1 + Т). (7.8.4)

Здесь с = COSyCX, а I, т|, ? — составляющие вектора, имеющего величині

ну sin у а и направленного по оси вращения. Параметры с, |, т|, ?, фигурирующие в выражении для q, впервые использовал Эйлер в 1776 г. Заметим, что q представляет единичный кватернион, а

g-i = C(I-T). (7.8.5)

Если вращение переводит res, то

S = qrq~\ (7.8.6)

где г следует понимать как кватернион xi + yi + zk. Для доказательства этого основного соотношения необходимо показать, что

s (1+T) = (I +T) г. (7.8.7)

Пользуясь (7.8.3), это равенство можно переписать в виде

— (s-T) + s+sX T= —(T-r) + r + TXr. Скалярные величины слева и справа равны здесь, поскольку T •V = T-S, а векторы равны в силу соотношения (7.3.15).

§ 7.9. Сложение вращений. Рассмотрим два последовательных вращения: поворот на угол а около оси OA и последующий поворот на угол ? около оси OB. В результате мы получаем поворот на угол у около оси ОС; величина у и положение оси ОС подлежат определению.
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 290 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed