Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
в сферическом поясе, при котором ф остается положительной (рис. 21, d).
§ 8.10. Численный пример. В качестве иллюстрации изложенной выше
о 3 1
теории рассмотрим пример, в котором положим р и гз — -ji а —
= -д-я = 60°. Уравнение (8.9.4) в этом случае примет следующий вид:
3Q2 — 12pQ + 4р2 = 0. (8.10.1)
§ 8.10
ЧИСЛЕННЫЙ ПРИМЕР
135
Корни приближенно равны
Q1 = 0,367/7, Q2 = 3,633р. (8.10.2)
2 3
Если W занимает положение В, то Q = -jP и Cos ? — 4" > ? = 41°24'. Если
W занимает положение С, то Q =-^-р.
Рассмотрим сначала случай, когда точка W совпадает с точкой В. При
этом
z2 = A, х = ^р, и = |? (8.10.3)
и
З \ / 1 \ / 5
Кроме того,
Ф = H22 ; ¦ (8-10-5)
так что ф > 0 ( ф = 0 при z = z2 = j.
Чтобы получить более ясное представление о движении, определим приращение ф между двумя последовательными точками заострения. Имеем
-2- = -1/ -
зг3
(z~y) (Ц
Поэтому, если обозначить это приращение через 2у, то получим
1 -ж г 3(т~2)
Грубую оценку величины у можно произвести следующим путем. Заметим, что если 0<іа<сЬ, то
ь _
а
Другой сомножитель в подынтегральном выражении (8.10.7) представляет собой монотонную функцию. Поэтому величина 2у заключена между значениями (]/б/6)я и (8]/21/49) я и заведомо лежит между пределами |- я и -| я.
Истинное значение величины 2у в этом примере равно 83°45'.
Рассмотрим теперь движение, соответствующее случаю, когда точка W занимает положение С. При этом
z2 = l, X = р, ц = -|?, (8.10.9)
f(z) = q(l-z)(z—j)(S-z), (8.10.10)
136 ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА [Гл. VIlI
ф = 2р/(1 + 2), (8.10.11)
(іф . 2р ~|/3
^ (1+*)}/^ (1-.) (z-y) (3-г) (1 + *)j/^l-*) (З-*)
(8.10.12)
При возрастании z от -^- до 1 величина ф получает приращение
у= f-, ^"3& = f У5* . (8.10,13)
Б правой части этого равенства следует положить z = -|" — "^CoS б- Множитель (l + z)/3—z в интервале (у, lj изменяется монотонно, так что значение
у лежит между пределами я 1/6/4 и 2я/30/15 и, стало быть, между пре-3 3
делами -|г-я; и —я. Истинное значение у равно 119°48'.
§ 8.11. Стержень во вращающейся плоскости. Предположим, что стержень совершает движение по гладкой плоскости, которая вращается с угловой скоростью со около горизонтальной оси, лежащей в самой плоскости. Пусть 0\, On — оси, связанные с плоскостью, причем за ось 0% возьмем неподвижную горизонтальную ось вращения, а ось Оц расположим ниже горизонтальной оси под углом Wf к ней. Если угол наклона стержня к оси 0\ в некоторый момент t обозначить через 9, то можно написать
L = I- (Іа + чг + о)гПа)+-|"ла(в2+ш28іп2в) + гті8Шо«, (8.11.1)
где \, т) — координаты центра тяжести G стержня, а М№ — его момент инерции относительно оси, проходящей через G перпендикулярно к стержню. Эта задача интересна тем, что выражение для L имеет вид суммы трех отдельных функций Лагранжа, каждая из которых зависит лишь от одной координаты, и поэтому движение по каждой координате не зависит от движения по остальным координатам. Система является полностью разделимой: ее можно трактовать как три независимые системы. Явление полной разделимости наиболее ярко выступает в теории малых колебаний, излагаемой в следующей главе. В дальнейшем (гл. XVII и XVIII) мы рассмотрим разделимые, но не полностью разделимые системы; в таких системах изменение одной из координат хотя и не вполне автономно, но все же в некотором смысле (более подробно см. ниже) оно происходит независимо от других. (Следует заметить, что рассматриваемая нами здесь система не является разделимой системой в обычном смысле, поскольку теория разделимых систем, излагаемая в гл. XVII и XVIII, относится только к таким системам, для которых функция Лагранжа не ,содержит t; в нашем случае время t входит явным образом в выражение для L-) Уравнения движения имеют вид
ї=0, її—CO2T] = g sin шг, o = co*2 cos 9 sin Є. (8.11.2)
Значение I остается постоянным (что, впрочем, очевидно), а значение п в некоторый момент t равно
ft а
т) = a ch w*+-^- sh шг+"2ш2 ^ шг—sin ш)> (8.11.3)
где а и ? — значения т) и т) в момент t — 0. Уравнение для O можно представить в виде
ф"+ «2 sin ф = 0, (8.11.4)
где ф = я, — 29. Мы получили уравнение (5.2.10), описывающее движение простого маятника.
S 8.12]
КАЧЕНИЕ ДИСКА
137
§ 8.12. Качение диска. До сих пор применение уравнений Лагранжа ограничивалось голономными системами. Рассмотрим теперь приложение этих уравнений к неголономной системе, а именно к однородному диску или однородному круглому обручу, катящемуся по шероховатой горизонтальной плоскости. Система имеет три степени свободы, но для определения ее конфигурации требуется пять лагранжевых координат. Дифференциалы этих пяти координат, представляющие виртуальное перемещение, должны удовлетворять двум пфаффовым уравнениям связи, а уравнения Лагранжа будут содержать два множителя (§ 6.2).
Возьмем неподвижную систему координат Oxyz, причем ось Oz направим вертикально вверх, а точку О выберем в плоскости, по которой катится диск. Ориентацию диска определим эйлеровыми углами Э, <р, а|з, а ось GC системы
