Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
COi = C2C3Cp1 + S3Cp2,
CO3 = S2Cp1 -I- Фз.
(7.16.2)
где сГ = cos ф,., sr--sin<p,..
Здесь мы также встречаемся с некоторыми парадоксами, например, при с2 = 0.
При ф4 = ф2 = фз = 0 составляющие вектора угловой скорости равны фІ5 ф2, ф3, как и следовало ожидать.
3. Полученные выше результаты можно вывести также из формулы (7.15.7) для Q. Выбирая в качестве переменных углы фь ф2. ф3, будем иметь
/ = Дя(ф8)Л2(Фа)В1(ф1) (7.13.4)
и
a=-?V. (7.15.7)
Отсюда
Й= "(?.??^+??^?+????) B1B2B3 = = -V1B3B2^ B[B2B3-^2B3 ^B2B3-у3^В'3, (7.16.3)
где аргументами матриц-функций -В; и В[ служат срг. Матрица B1 (0) удовлетворяет соотношению
Аналогично
(7.16.4)
(7.16.5)
S ".16]
СОСТАВЛЯЮЩИЕ ВЕКТОРА УГЛОВОЙ СКОРОСТИ
123
^f-л; =| — і о о і. (7.16.6)
Используя эти результаты, можно формулу (7.16.3) переписать в следующем виде:
(О — (S2(P1 f Фз) — C2S3(P1 + с3(р2
VPi+Фз 0 -(**?^ + ?%) Г (7.16.7)
C2S3(P1-C3(P2 C8C3Cp1-L 53ф2 О
Таким образом, мы снова получаем соотношения (7.16.2), однако метод, изложенный в п. 1, является более простым.
Глава VIII ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА
§ 8.1. Дифференциальные уравнения. Рассмотрим теперь приложения лагранжевых уравнений движения к некоторым конкретным механическим системам. Начнем с консервативной голономной системы с к степенями свободы. Положение системы в момент t задается лагранжевыми координатами <7і, С72, • • • , qni причем наименьшее возможное значение п равно к. Будем предполагать, что координаты выбраны именно таким образом, т. е. что п = к. Составим функцию Лагранжа L (§ 6.6), L=T — V. Уравнения движения запишутся в форме
4(f) -Ir. -1.2,...,». (6.6.3)
Мы имеем систему п совокупных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно п неизвестных функций Qi (t), дг (t), ... . . ., дп (t). Система (6.6.3), вообще говоря, определяет величины д как функции от t, во всяком случае в некотором интервале времени, если в момент t = О известны значения д и д.
Когда мы говорим о решении динамической задачи, мы имеем в виду определение величин д как функций t для всех вещественных значений t или по крайней мере для некоторого интервала значений t, когда величины
Qr — Qro и сог = дг0 в момент t = 0 заданы произвольным образом. Получить такие решения удается лишь для немногих достаточно простых задач. Типичным примером могут служить малые колебания (гл. IX).
Однако обычно приходится довольствоваться менее полным решением. Но даже в том случае, когда не представляется возможным получить явные формулы, определяющие величины q как функции 2п + 1 параметров #ю, ?20, ¦ • •> <7n0> 0Io, W20, . . ., con0, t, все же можно установить общий характер движения и выяснить некоторые важные характеристики его. Кроме того, с помощью численных методов интегрирования или разложения в степенные ряды (§ 21.4) можно получить приближенные решения, справедливые для достаточно малых значений t.
Аналогичные замечания можно сделать и в отношении неголономных систем, хотя в этом случае дело обстоит несколько сложнее. В неголономных системах наименьшее возможное значение п равно к -,- I, причем имеются I уравнений связи
п
S Brsgs + Br = 0, г=1,2, I. (6.2.3)
S=I
Уравнения движения имеют вид
і
4(т^)-|г+2 ^Втг, г= 1,2, ...,п. (6.6.4)
°Чт т= 1
Всего мы имеем п + I уравнений и п + I функций от t, подлежащих определению, а именно функции gt, q2, . . ., qn, Яі, Я2, . . ., Хг.
J 8.2]
ФОРМУЛЫ УСКОРЕНИЯ В ОРТОГОНАЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ
125
Наконец, если имеется р избыточных координат и р соотношений
Fr (Яи 02, - ¦ О = °> г = 1, 2, . . ., р, (5.12.6)
то к правым частям уравнений (6.6.3) или (6.6.4) следует добавить слагаемые
р
2^-?-, г = 1,2, ...,п. (6.2.4)
Появляются р дополнительных неизвестных, именно множителей Ll1, Ll2, ... . . ., Lip, и р дополнительных уравнений (5.12.6).
Рассмотрим теперь применение уравнений Лагранжа к некоторым частным задачам.
§ 8.2. Формулы ускорения в ортогональных координатах. Положение точки, движущейся в пространстве, будем определять ортогональными криволинейными координатами а, ?, у. Квадрат линейного элемента ds в этих координатах будет иметь следующее выражение:
ds2 = АЧа2 + ВЧ$>2 + СЧу1. (8.2.1)
Коэффициенты А, В, С здесь являются функциями от переменных а, ?, у, принадлежащими классу C1. В каждой точке пространства определены три главных взаимно ортогональных направления. Например, в точке (а0, ?0, Yo) первое главное направление задается касательной к кривой ? = ?0, у = Yo> причем а вдоль этого направления возрастает. Это направление мы иногда «удем называть «-направлением.
Для частицы единичной массы имеем
71 = ^^?2 + ^24-C2Y2). (8.2.2)
Если на эту частицу действует сила с составляющими X, Y, Z по главным направлениям, то работа этой силы на виртуальном перемещении будет равна
XA da + YB d? -!- ZC dy. (8.2.3)
Первое уравнение Лагранжа имеет вид
