Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
у = Ix (7.3.2)
определяет изменение положения фиксированной частицы тела, перешедшей из положения R в положение S. Координаты точки R (в неподвижных ося X OXiX2X3) равны Уіі Уі, Уз, а координаты точки S равны X1, х2, х3. Уравнение (7.3.2) можно представить в эквивалентной форме:
х — у = К(х + у), (7.3.5)
где.ВГматрица (J-Z) (Г+ Z)^=(JH-Z)-1 (J- Рис- 12-
— I). Очевидно, матрица существует при
условии, что —1 не является собственным значением матрицы I*). Кроме того, матрица К кососимметрическая. Для доказательства рассмотрим равенство
K(I+l) = I — l. (7.3.6)
Умножая его справа на V, находим
K(V'+I) = I'—I. (7.3.7) Транспонируя матрицы, получаем
(1+I)K' = 1-1. (7.3.8)
Следовательно,
К' = (1 + I)'1 (1 — 1)= — К, (7.3.9) и, стало быть, матрица К является кососимметрической:
/ О —T3 Т2\
K= T3 0 -тЛ. (7.3.10) \-Tz Ti о /
Произведение матриц Km ^где m=y(ac + 3/)j представляет собой
матрицу-столбец векторного произведения T X т., где вектор T имеет составляющие {Ти T2, T3). На рис. 12 прямая OA имеет направление
*) Если осуществляется один полуоборот, то собственными значеннями будут 1,
—1, -1.
108
ТЕОРИЯ ПОВОРОТОВ
[Гл . VIl
вектора Т, точка M есть средняя точка отрезка RS, перпендикулярного
к плоскости, содержащей векторы Тжт (поскольку у AS = T X т) ,
a P является точкой пересечения прямой OA с плоскостью, проходящей через точку R и перпендикулярной к прямой OA. Из соотношений
MS = Y(x-y) = TX т, (7.3.11)
i MS i = iT ji т i sin ф = i T11PMi (7.3.12)
следует, что
i ti = IgIa, (7.3.13)
где через а обозначен угол RPS; можно считать, что 0<;а<;я. Перемещение из точки R в точку S достигается путем поворота на угол а около оси OA.
Таким образом, матрица I определяет вектор Т:
T=(tgya)ra, (7.3.14)
где п — единичный вектор вдоль оси вращения, а a — угол поворота. Собственно говоря, ось вращения и угол поворота определяются матрицей I. Вектор поворота T будет играть важную роль в дальнейшем.
Если теперь через г обозначить радиус-вектор частицы тела (по отношению к неподвижным осям) до перемещения, а через 8 — радиус-вектор той же частицы после перемещения, то уравнение (7.3.11) можно представить в следующей форме:
s—r = TX(s + r), (7.3.15)
где T — вектор поворота. Это соотношение теряет силу, если а есть нечетное кратное от я; в частности, оно неверно для полуоборота. Но в обычных случаях можно предполагать (как уже указывалось ранее), что 0 < a < я. Любое значение а (не нечетное кратное от л) можно представить в форме 2kn + 6, где к — целое число, а | 9 | < я. Если 9 > 0, то поворот на угол 2кл + 9 эквивалентен повороту на угол 9. Если 9 < 0, то поворот на угол 2кп + 9 около оси OA эквивалентен повороту на угол —9 около оси АО. При замене а на 2я — а, а и на —п вектор T остается неизменным (как и следовало ожидать, поскольку этот вектор определяет перемещение).
Пример 7.3. Найти ось вращения и угол поворота в случав, когда после перемещения ось OY1 совпадает с осью OX2, ось OY2 — с осью OX3 и ось OF3 — с осью OX1. В этом случае
/0 1 ОД /0—1 1\
«= 0 0 1, JT= 1 0 — 1 ), \1 0 0/ v-I і о/
так что вектор T равен {1, 1, 1}. Ось вращения наклонена к осям OX1, OX2, OX3 под одинаковыми углами, а tg у a = т/3, а = ~^ л- В этом простом примере результат очевиден и без вычислений. Ось вращения можно найти, исходя из того, что она имеет направление собственного вектора, соответствующего собственному значению -f-1, а величину угла поворота — исходя из того, что остальные собственные значения равны ега и е~1а. (Матрица I имеет те же собственные значения, что и матрица R1; см. ниже формулу (7.6.6).)
§ 7.4. Обобщение теоремы Эйлера. Теорема о том, что прямая, проведенная в теле, при повороте тела остается неподвижной, эквивалентна утверждению, что отображение единичной сферы на себя, получаемое при любом
S 7.6]
ФОРМУЛА ПОВОРОТА
109
перемещении скользящей по сфере оболочки (§ 7.2), обладает неподвижной точкой. Между тем неподвижная точка существует для любого непрерывного отображения сферы на себя при условии, что это отображение непрерывным образом может быть переведено в тождественное. С этой точки зрения теорему Эйлера можно рассматривать как частный случай весьма общего результата. Более того, аналогичное утверждение можно высказать и для случая, когда тело не является твердым, если только непрерывное изменение его формы таково, что проведенные через точку О прямые линии остаются прямыми. При любом перемещении тела, при котором выполняется это условие, существует прямая, проходящая через точку О и остающаяся неподвижной.
§ 7.5. Теорема Шаля. Откажемся на время от условия, что твердое тело имеет одну неподвижную точку, и рассмотрим общий случай перемещения тела. Докажем теорему, полученную Шалем в 1830 г.: любое перемещение тела может быть осуществлено путем поступательного перемещения вдоль некоторого направления и вращения около этого направления. Такое перемещение, как известно, называется винтовым *). Его мы получаем, например, навертывая гайку на болт.
