Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Парс Л.А. -> "Аналитическая динамика" -> 59

Аналитическая динамика - Парс Л.А.

Парс Л.А. Аналитическая динамика. Под редакцией Рубашева А.Н. — М.:Наука, 1971. — 636 c.
Скачать (прямая ссылка): analitdinamik1971.djvu
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 290 >> Следующая


Описанная система голономна и имеет две степени свободы. На рис. 18 изображено поперечное сечение оболочек плоскостью, перпендикулярной к их осям; центр первого цилиндра обозначен через С, центр второго — через D. Точка В фиксирована на первом цилиндре, точка А — на втором; в начальный момент точка В совпадает с точкой О, принадлежащей плоскости, и точка А совпадает с В. В качестве лагранжевых координат возьмем

угол В между отрезком CB и направленной вниз вертикалью в точке С и угол <р между отрезком CD и этой же вертикалью; углы 9 и ср отсчитываются в противоположных направлениях (см. рисунок). Условие отсутствия скольжения записывается в виде

а (ср + op) = Ъ (9 + ср)

или

сдр = 60 + сф, (8.5.1)

где с = b — а. В процессе движения поверхности, вообще говоря, могут отделиться друг от друга, но мы, чтобы не усложнять задачу, будем предполагать, что этого не происходит (это можно обеспечить, например, с помощью некоторого невесомого механизма). Будем предполагать, что движе-

ние начинается из состояния покоя, в котором ф = а, причем 0 < а < у я.

Без ограничения общности можно считать, что в начальный момент 6 = 0. Имеем

7/ = 4- MbW + 4" MЬ202 + 4"т (02O2 + с V + 2&СОФ cos Ф) + T та^2 =

2 2 ^ ^

= MbW +\т (bW + с2ф2 + 2бс0<р cos ф) + у т (60 + сер)2 =

= (М + т) 6202 + тс2ф2 + т6с0ф(1 + со8ф), (8.5.2)

F=—т^ссоэф. (8.5.3)

Интеграл импульса, соответствующий циклической координате 0, имеет вид

2(М + т)69 + тсф(1 + со8ф) = 0, (8.5.4)

и мы сразу получаем, что

2 (M -f т) 60 + тс (ф + sin ф) = тс (a + sin а). (8.5.5)

Уравнение (8.5.5) определяет явным образом 0, если известна функция ф. Найдем последнюю.

Уравнение энергии записывается в форме

(M +т) bW + тс2<р2 + тЬсв ф (1 + cos ф) = mgc (cos ф —cosa). (8.5.6)

Исключая 0 из уравнений (8.5.4) и (8.5.6) (с помощью очевидного тождества

ах2 + 2hxy + by- = {(ял: + %)2 + (ab - h2) у2} 1

§ 8.6]

ВРАЩАЮЩИЙСЯ ВОЛЧОК; ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

129

или каким-либо иным способом), находим

ср2 {1 — ?2 (1 + cos ф)2} = п2 (cos ф — cos а), (8.5.7)

где

?* = //J"i. 1<4-' "2 = -- (8.5.8)

г 4 (Af+ т) 4 с v '

Уравнение (8.5.7) определяет связь между ф и t. Очевидно, движение носит периодический характер и ф колеблется между пределами а и —а. Период колебаний равен

— ( \v 1еш±™^х лр. (8.5.9)

п J I ' cos ф —¦ cos (x J v '

о

§ 8.6. Вращающийся волчок; основные уравнения. Волчок представляет собой твердое тело, обладающее осевой симметрией; острие его О, расположенное на оси, остается неподвижным, и вращение его происходит вокруг точки О под действием силы тяжести. Свяжем с телом триэдр ОАВС, направив ось ОС по оси симметрии; тогда оси OA, OB, ОС будут главными осями инерции в точке О, а моменты инерции относительно осей OA и OB будут одинаковы. Центр тяжести G лежит на оси ОС. Обозначим главные моменты инерции в острие через А, А, С, массу волчка — через М, а расстояние OG — через I. При C = O мы приходим к задаче о сферическом маятнике, рассмотренной в § 5.3.

С чисто динамической точки зрения условие симметричности тела относительно оси является излишним. Уравнения, которые мы выведем, будут справедливы для любого тела, эллипсоид инерции которого в точке G является сфероидом с точкой О па его оси.

Вводя углы Эйлера для определения ориентации триэдра OABC и направляя ось Oz вертикально вверх, напишем выражения для кинетической и потенциальной энергии тела:

I • • 1 •

Г = уЛ (osimp — фэтб cosip)2+-?,"^ (0 соэгр + фзтОзщгр)2 +

+ у С (ф -) ср cos О)2 = у А (Є2 + ф2 sin2 0) + у С (у + ф cos Є)2, (8.6.1)

V = MgI cos 0. (8.6.2)

Уравнение Лагранжа для 0 запишется в виде

А (0 — cp2 sin 0cos 0) + С(гр + ф cos 0) cp sin Q = MgI sin 0, (8.6.3)

а интегралы импульсов, соответствующие циклическим координатам ф и тр, будут иметь вид

A sin2 0 ср + С cos 0 (ip + ср cos 0) = const = 2Ак, (8.6.4)

ір+ ф cos 0 = const = п. (8.6.5)

Уравнение (8.6.4) выражает постоянство момента количеств движения относительно оси Oz (величина его обозначена через 2AK), а уравнение (8.6.5) — постоянство спина, т. е. составляющей угловой скорости вдоль оси волчка (величина его обозначена через п). Мы будем считать, что п > 0; в большей части случаев, представляющих практический интерес, это число довольно велико.

Я Л. А. Парс

130

ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА

ІГл. VIII

Уравнения, определяющие 9 и ср как функции от t, т. е. уравнения, описывающие движение оси волчка, приобретают вид

0 — sin G (cos 9 ср2 — 2p<f 4 q) = 0, (8.6.6)

• sin2 9 ср + 2p cos Є .= 2%. (8.6.7)

Здесь 2p = Cn/A, q = MgIIА; параметры p и q положительны.

Получим теперь интеграл энергии. Это можно сделать непосредственно из уравнений движения либо с помощью общей теоремы (§6.7). Его можно представить в форме '

92 + sin2 0 ср2 + 2q cos 0 = 2ц.. (8.6.8)

Для некоторых целей уравнение (8.6.8) оказывается более удобным,

чем (8.6.6). Исключая ф из (8.6.7) и (8.6.8), приходим к уравнению
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 290 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed