Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Описанная система голономна и имеет две степени свободы. На рис. 18 изображено поперечное сечение оболочек плоскостью, перпендикулярной к их осям; центр первого цилиндра обозначен через С, центр второго — через D. Точка В фиксирована на первом цилиндре, точка А — на втором; в начальный момент точка В совпадает с точкой О, принадлежащей плоскости, и точка А совпадает с В. В качестве лагранжевых координат возьмем
угол В между отрезком CB и направленной вниз вертикалью в точке С и угол <р между отрезком CD и этой же вертикалью; углы 9 и ср отсчитываются в противоположных направлениях (см. рисунок). Условие отсутствия скольжения записывается в виде
а (ср + op) = Ъ (9 + ср)
или
сдр = 60 + сф, (8.5.1)
где с = b — а. В процессе движения поверхности, вообще говоря, могут отделиться друг от друга, но мы, чтобы не усложнять задачу, будем предполагать, что этого не происходит (это можно обеспечить, например, с помощью некоторого невесомого механизма). Будем предполагать, что движе-
ние начинается из состояния покоя, в котором ф = а, причем 0 < а < у я.
Без ограничения общности можно считать, что в начальный момент 6 = 0. Имеем
7/ = 4- MbW + 4" MЬ202 + 4"т (02O2 + с V + 2&СОФ cos Ф) + T та^2 =
2 2 ^ ^
= MbW +\т (bW + с2ф2 + 2бс0<р cos ф) + у т (60 + сер)2 =
= (М + т) 6202 + тс2ф2 + т6с0ф(1 + со8ф), (8.5.2)
F=—т^ссоэф. (8.5.3)
Интеграл импульса, соответствующий циклической координате 0, имеет вид
2(М + т)69 + тсф(1 + со8ф) = 0, (8.5.4)
и мы сразу получаем, что
2 (M -f т) 60 + тс (ф + sin ф) = тс (a + sin а). (8.5.5)
Уравнение (8.5.5) определяет явным образом 0, если известна функция ф. Найдем последнюю.
Уравнение энергии записывается в форме
(M +т) bW + тс2<р2 + тЬсв ф (1 + cos ф) = mgc (cos ф —cosa). (8.5.6)
Исключая 0 из уравнений (8.5.4) и (8.5.6) (с помощью очевидного тождества
ах2 + 2hxy + by- = {(ял: + %)2 + (ab - h2) у2} 1
§ 8.6]
ВРАЩАЮЩИЙСЯ ВОЛЧОК; ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
129
или каким-либо иным способом), находим
ср2 {1 — ?2 (1 + cos ф)2} = п2 (cos ф — cos а), (8.5.7)
где
?* = //J"i. 1<4-' "2 = -- (8.5.8)
г 4 (Af+ т) 4 с v '
Уравнение (8.5.7) определяет связь между ф и t. Очевидно, движение носит периодический характер и ф колеблется между пределами а и —а. Период колебаний равен
— ( \v 1еш±™^х лр. (8.5.9)
п J I ' cos ф —¦ cos (x J v '
о
§ 8.6. Вращающийся волчок; основные уравнения. Волчок представляет собой твердое тело, обладающее осевой симметрией; острие его О, расположенное на оси, остается неподвижным, и вращение его происходит вокруг точки О под действием силы тяжести. Свяжем с телом триэдр ОАВС, направив ось ОС по оси симметрии; тогда оси OA, OB, ОС будут главными осями инерции в точке О, а моменты инерции относительно осей OA и OB будут одинаковы. Центр тяжести G лежит на оси ОС. Обозначим главные моменты инерции в острие через А, А, С, массу волчка — через М, а расстояние OG — через I. При C = O мы приходим к задаче о сферическом маятнике, рассмотренной в § 5.3.
С чисто динамической точки зрения условие симметричности тела относительно оси является излишним. Уравнения, которые мы выведем, будут справедливы для любого тела, эллипсоид инерции которого в точке G является сфероидом с точкой О па его оси.
Вводя углы Эйлера для определения ориентации триэдра OABC и направляя ось Oz вертикально вверх, напишем выражения для кинетической и потенциальной энергии тела:
I • • 1 •
Г = уЛ (osimp — фэтб cosip)2+-?,"^ (0 соэгр + фзтОзщгр)2 +
+ у С (ф -) ср cos О)2 = у А (Є2 + ф2 sin2 0) + у С (у + ф cos Є)2, (8.6.1)
V = MgI cos 0. (8.6.2)
Уравнение Лагранжа для 0 запишется в виде
А (0 — cp2 sin 0cos 0) + С(гр + ф cos 0) cp sin Q = MgI sin 0, (8.6.3)
а интегралы импульсов, соответствующие циклическим координатам ф и тр, будут иметь вид
A sin2 0 ср + С cos 0 (ip + ср cos 0) = const = 2Ак, (8.6.4)
ір+ ф cos 0 = const = п. (8.6.5)
Уравнение (8.6.4) выражает постоянство момента количеств движения относительно оси Oz (величина его обозначена через 2AK), а уравнение (8.6.5) — постоянство спина, т. е. составляющей угловой скорости вдоль оси волчка (величина его обозначена через п). Мы будем считать, что п > 0; в большей части случаев, представляющих практический интерес, это число довольно велико.
Я Л. А. Парс
130
ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА
ІГл. VIII
Уравнения, определяющие 9 и ср как функции от t, т. е. уравнения, описывающие движение оси волчка, приобретают вид
0 — sin G (cos 9 ср2 — 2p<f 4 q) = 0, (8.6.6)
• sin2 9 ср + 2p cos Є .= 2%. (8.6.7)
Здесь 2p = Cn/A, q = MgIIА; параметры p и q положительны.
Получим теперь интеграл энергии. Это можно сделать непосредственно из уравнений движения либо с помощью общей теоремы (§6.7). Его можно представить в форме '
92 + sin2 0 ср2 + 2q cos 0 = 2ц.. (8.6.8)
Для некоторых целей уравнение (8.6.8) оказывается более удобным,
чем (8.6.6). Исключая ф из (8.6.7) и (8.6.8), приходим к уравнению