Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
118
ТЕОРИЯ ПОВОРОТОВ
[Гл. VII
Матрица направляющих косинусов имеет вид
(cos 9 cos ср cos гр—sincpsinip cos8sincpcos\p+coscpsin\p — sin9cosi|^ —cos 9 cos ф sin гр—втфсоэгр —cos9sn^sinip-f совфсовгр sin 9 sin гр sin 9 cos ф sin 6 sin ф cos 9
(7.11.1)
Как легко видеть, элементы первой строки представляют собой проекции на оси Ох. Oy, Oz единичного вектора вдоль оси OA. Элементы второй
строки получаются из элементов первой путем замены в них гр на гр + —я.
Матрицу направляющих косинусов можно представить в более компактной форме:
CjC2C3 S2S3 C1S2C3-J-C25S —S1C3X
-C1C2S3-S2C3 —C1S2S3-I-C2C3 S1S3 I. (7.11.2)
S1C2 S1S2 C1 /
Здесь индексы 1. 2, 3 относятся соответственно к углам 9, ф, гр; через с, обозначен cos 9, через S1 обозначен sin 9 и т. д.
Выбирая в качестве исходного положения триэдра OABC то его положение, когда он совпадает с Oxyz, мы можем перевести его в конечное положение одним из двух следующих способов:
a) 1. Производим поворот на угол ф около оси ОС = Oz, после чего триэдр OABC принимает положение ORSz (рис. 16). 2. Совершаем поворот на угол 6 около нового положения оси OB, т. е. около оси OS; при этом точка С достигает своего конечного положения и триэдр OABC принимает положение OTSC 3. Производим поворот на угол гр около нового положения оси ОС. в результате чего триэдр OABC переходит в конечное положение.
b) Поворот на угол гр около оси Oz, за которым следуют поворот на угол 6 около оси Oy и поворот на угол ф около оси Oz.
Разумеется, каждая из последовательностей операций а), Ь) эквивалентна единственному повороту Т, определяемому формулой (7.9.19)*).
*) Эквивалентность последовательностей операций а) и Ь) является следствием теоремы: последовательность конечных поворотов, определяемых векторами
T^c^g-f-, T2=e2tg-f,
эквивалентна последовательности
Ti=T2=P8Ig-^-, Ti = eitg-|-,
где <>ї — единичный вектор, в который переходит е4 при повороте T2 (А. И. Лурье, Прикл. матем. и мех. 21, № 4, 1957).
Последовательности операций а) и Ь) даются поворотами:
а) S1 = ktg-T-, S2=i*tg-|, .S3 = fc'tg |-;
б) Ti= к tg^-, T2=J tg-|, T3 = Jc tg-|-.
Здесь j, к.— единичные векторы осей Oy, Oz; к' — единичный вектор на ОС; j*—единичный вектор, в который переходит j при повороте T3. В соответствии с упомянутой теоремой последовательность T2, T3 эквивалентна A1, .S2, так что последовательность T1, T2, T3 эквивалентна T1, A1, S2, но последняя в силу той же теоремы эквивалентна Si, S2, S3 (последнее следует из того, что в результате последовательности поворотов S1, S2 единичный вектор к переходит в к'). (Прим. перев.)
I 7.13]
ПОВОРОТЫ около ДВИЖУЩИХСЯ ОСЕЙ
119
§ 7.12. Ориентация твердого тела в пространстве. Углы Cp1, <р2, ср3. Другой, более симметричный способ определения ориентации триэдра OABC заключается в следующем. Пусть сначала триэдр OABC совпадает с триэдром Oxyz. Переведем его в конечное положение, производя последовательно следующие операции: поворот на угол Cp1 около оси OA = Ох, затем поворот на угол Cp2 около оси OB в новом положении и, наконец, поворот на угол фз около оси ОС в новом положении (рис. 17). Матрица направляющих косинусов, определяющих положение триэдра OABC, будет иметь вид
C2C3 C1S3 + S1S2C3 S1S3 — C1S2C3N — C2S3 C1C3-S1S2S3 8^3 + C1S2S3 |, (7.12.1) S2 S1C2 C1C2 I
ст обозначает cos фг, a sr обозначает sin фг. Элементы первой строки выражают проекции на оси Ох, Oy, Oz единичного вектора вдоль оси OA. Вторая строка получается из первой заменой ср3 на Фз
где
1I2Tt.
Рис. 17.
§ 7.13. Повороты около движущихся осей. Рассмотрим теперь другой способ получения матрицы
(7.12.1). Как мы видели в § 7.6, повороту на угол 6 около оси OA соответствует переход от матрицы 1 к матрице R1I, где R1 = R1 (9) — ортогональная матрица
10 0 R1 (9) = J 0 cos 9 sin 9
,0 —sin9 cos9,
(7.13.1)
Аналогично, при повороте на угол 9 около оси OB мы переходим от I к J^2Z, где -K2 — ортогональная матрица
(cos9 0 — sinO1 О 1 О sin 9 0 cos 9
(7.13.2)
а при повороте на угол 0 около оси ОС — от I к R3I, где R3 — ортогональная матрица
cos 9 sin 9 0 і Яз (в)= i -sin 9 cos 9 o|. (7.13.3)
0 0 1.
Если сначала триэдр OABC совпадает с неподвижным триэдром Oxyz, то начальное значение матрицы I равно I. Поэтому, если конечное положение триэдра OABC достигается посредством поворотов на углы ф1; ф2, ф3 (см. § 7.12), то конечное значение I будет равно
(Фз)-K2 ы A1^1), (7.13.4)
что совпадает с (7.12.1).
Этот же способ можно, разумеется, применить и для получения матрицы направляющих косинусов, выраженных через углы Эйлера. В этом случае
120
ТЕОРИЯ ПОВОРОТОВ
[Гл. VII
матрица будет иметь вид
B3(^)B2(Q)B3(V), (7.13.5)
и мы вновь придем к матрице (7.11.2).
§ 7.14. Повороты около неподвижных осей. Если тело поворачивается на угол 6 около неподвижной оси Ох, то связанный с телом триэдр OABC переходит в новое положение и матрица I направляющих косинусов заменяется новой матрицей, равной, очевидно, IBi {Q)- То же можно сказать и в отношении поворотов около осей Oy и Oz.
