Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
у г2 = (L1 - qz) (1 - г2) - 2 (I - pz)\ (8.6.9)
где z = cos 9. Обозначим полином третьей степени в правой части (8.6.9) через / (z). Зависимость z от і может быть выражена посредством ^-функции Вейер-штрасса, как в случае сферического маятника (к которому сводится наша задача, если р = 0). Далее,
Ф = 2fl?z) ¦ (8.6.10)
Мы приходим к трехпараметрической совокупности движений (не рассматривая фазовые постоянные, зависящие от выбора начала отсчета t, ф, гр) от параметров р, К, и..
§ 8.7. Вращающийся волчок; другое решение. Получим теперь результаты предыдущего параграфа другим способом. Будем предполагать, что спин сохраняет постоянное значение п. Тогда, если через и обозначить единичный вектор вдоль оси ОС, то вектор момента количеств движения относительно точки О будет равен
Спи +Au Xu (8.7.1)
и уравнение движения будет иметь вид
Спи + Au X и = MgIu X V, (8.7.2)
где V — единичный вектор вдоль линии действия силы тяжести. Если теперь обозначить через х, у, z составляющие вектора и и направить ось Oz вертикально вверх, так что v = {0, 0, —1}, то будем иметь
A (yz — zу) + Сп'х = — MgIy, (8.7.3)
A (zx — xz) + Спу = MgIx, (8.7.4)
А (ху — ух) + Cnz = 0. (8.7.5) Из (8.7.5) сразу получаем
А (ху — ух) 4 Cnz = const. (8.7.6)
Это соотношение эквивалентно (8.6.7). Умножая уравнения (8.7.3) — (8.7.5) соответственно на у — z, z — х, х — у и складывая, находим
А {(хх 4- уу 4 zz) (х 4 у 4 z) — (х 4 у 4 z) (хх + у у 4 ZZ)} =
= MgI {(х + у 4 z) 'z — (хх + fr zz)}. (8.7.7)
§ 8.9]
ВРАЩАЮЩИЙСЯ ВОЛЧОК; ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ
131
Так как хх + уу + zz = 0, уравнение (8.7.7) упрощается и принимает вид А (XX + у у + ZZ) + MgIz = 0. (8.7.8)
Отсюда
Y А(х2+у2 + z2) + MgIz = const, (8.7.9)
2
что эквивалентно (8.6.8).
§ 8.8. Гироскопические силы. Рассмотрим движение волчка, на который действует единственная сила F1 приложенная в точке G (кроме реакции связи в точке О). Пользуясь обозначениями § 8.7, напишем
Спи + Au у. и =їи X F. (8.8.1)
Умножая обе части этого равенства векторно на и и обозначая Iu = г (так что г равен вектору OG), находим
-J-{г- (и-г) и} = {F- (U-F)U} + ^- (MX,г). (8-8.2)
Выражение {г — (и-г) и} в левой части равенства определяет составляющую ускорения точки G, перпендикулярную к OG, т. е. составляющую, лежащую в касательной плоскости к сфере, по которой движется точка G. Аналогичным образом, выражение {F—(и-F) и} в правой части определяет составляющую силы F, лежащую в касательной плоскости. Но составляющая ускорения и составляющая силы не совпадают по направлению, если только точка G
не находится в данный момент в покое. Если г ^tO и параметр п достаточно велик, то в правой части (8.8.2) доминирует последнее векторное слагаемое, перпендикулярное как к OG, так и к скорости точки G.
Движение точки G можно представить как движение частицы массы All2, скользящей по гладкой сфере. Но такое движение будет вызываться не одной силой F, а еще силой, перпендикулярной к скорости и пропорциональной ей. Силы подобного рода постоянно встречаются в задачах.* в которых рассматривается движение волчков и гироскопов, и называются гироскопическими силами.
§ 8.9. Вращающийся волчок; исследование движения. Возвратимся к задаче о движении волчка, рассмотренной в § 8.6. Угол, который ось волчка
составляет с вертикалью, и величина ср определяются уравнениями
-І Z2 = / (Z) = (Li - QZ) (1 - Z2)-2 (X- pz)2, }
^_2(Х,— pz)
)
(8.9.1)
1 — Z2 '
где z = cos 9. Рассмотрим полином третьей степени / (z). Имеем
/ (-1) = —2 (I + р)2.< 0, / (1) = —2 (I — р)2 < 0. (8.9.2)
Если z2 > 0 при некотором z в интервале (—1, 1), то функция / (z) имеет три действительных корня Zi, z2, z3 таких, что
—l<zz < Z2^Kz1 (8.9.3)
(рис. 19).
9*
132
ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИИ ЛАГРАНЖА
[Гл. VIII
Возьмем точку P на оси волчка, находящуюся На единичном расстоянии от острия О; движение ее происходит в сферическом поясе единичной сферы, ограниченном окружностями z = Z3 и z = z2. Если Z2 и Z3 совпадают, то движение является установившимся и точка P равномерно движется по окружности z = Z3 на единичной сфере. Выясним, какие установившиеся движения возможны при 0 = а, если а — острый угол. Обозначим значение tp в установившемся движепии через Q. Уравнение (8.6.6) показывает, что Q
является корнем квадратного уравнения
F (Q) = cos aQ2 — 2pQ + q = 0. (8.9.4)
Это уравнение имеет два действительных положительных корня Qi и Q2 (0< Qi < Q2).
FiZ)
+1 /
zj 2k
Рис. 19.
если р2 > q cos а. Мы примем, что р2 так что условие р2 > q cos а будет удовле-у творяться при всех а. Условие р2> q удов-
/ летворяется в подавляющем большинстве
случаев, представляющих практический интерес, так как в этих случаях параметр р велик. (Если qlp2 — величина малая, то меньший корень приближенно равен q/2p, а больший корень равен 2/?/cos а. Эти величины выходят за область, определяемую действительными значениями: д/2р меньше, чем Qi, а 2p/cos а больше, чем Q2.)
