Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Произвольное перемещение тела можно осуществить также путем поступательного перемещения, при котором некоторая точка его переходит из положения О в положение О', и последующего поворота тела около оси, проходящей через точку О'. Направление этой оси остается при этом неизменным, т. е. не зависит от того, какая точка тела выбрана для выполнения первого перемещения. Теорему Шаля можно получить из уравнения (7.3.15), но проще и лучше доказать ее чисто геометрическим способом. В теле существует система связанных с ним плоскостей, остающихся параллельными себе после произвольного перемещения. Эти плоскости перпендикулярны к оси вращения. Рассмотрим в одной из таких плоскостей, например в плоскости to, треугольник PQR. Пусть он после перемещения займет положение P'Q'R' в плоскости со', параллельной плоскости со. Путем поступательного перемещения вдоль оси вращения плоскость со можно совместить с плоскостью со'. При этом треугольник PQR займет в плоскости со' положение P"Q"R". Треугольник P"Q"R" можно перевести в положение P'Q'R' путем чистого вращения около оси Я, параллельной оси вращения. Таким образом, наиболее общее перемещение достигается путем поступательного перемещения вдоль направления Я и вращения около оси Я.
§ 7.6. Формула поворота. Вернемся теперь к случаю, когда тело имеет неподвижную точку О, и рассмотрим перемещение такого тела. Мы видели, что перемещение в этом случае можно представить как поворот на угол а около оси OA. Фиксированная точка тела переходит при этом из своего первоначального положения R в конечное положение S. Предположим, что ось OA и угол поворота а известны. Возьмем точку тела с начальным положением R и найдем ее положение S после поворота.
Обозначим вектор OR через г, а вектор OS через s; векторы г и s играют ту же роль, что и матрицы-столбцы у и х в § 7.3. Пусть п будет
*) Аналогом винтового движения может служить приведенная (к динаме) система сил, приложенных к твердому телу. Возьмем в качестве центра приведения произвольную точку О. Пространственная система сил может быть приведена к силе .F1 приложенной в точке О, и к паре JV. Центр О можно выбрать так, чтобы ось пары N была параллельна линии действия силы F, т. е. чтобы плоскость пары была перпендикулярна к направлению силы. В зтом случае совокупность силы и пары называют динамой. Подробнее см., например, книгу: R. S. Ball, A Treatise on the Theory of Screws, Cambridge, 1900.
110
ТЕОРИЯ ПОВОРОТОВ
[Гл. VII
единичным вектором вдоль оси вращения OA. Установим формулу поворота s = yr-{-(l—y)(n-r)n + anXr. (7.6.1)
Здесь Y = COSa, a = sina. Пользуясь вектором поворота T=(tgyajn, введенным в § 7.3, запишем формулу поворота в следующем виде:
^ + г=~^{г-\ (Т-г)Т+Тхг}, (7.6.2)
где
* = tgTa = |T|.
Формулу поворота можно вывести многими способами. Ниже мы проведем доказательство тремя различными способами. 1) Будем исходить из уравнения (7.3.15):
s — r = Tx(s -\-г).
Разрешим это уравнение относительно s. Для этого умножим левую
и правую части уравнения векторно на Т. Проделав это, будем иметь
TX (« —г)=--TX {Tx (s + г)} = {T-(s + r)} Т — —1% (s + г) = 2 (T- г) T — t2 (S +¦ г). (7.6.3)
При этом мы использовали соотношение
T-(s+r) = 2(T-r). (7.6.4)
Складывая (7.3.15) и (7.6.3), получаем
(1 +t2) s = (1 — t2) г + 2 (T¦r) T + 2 (T X г),
что эквивалентно (7.6.2).
2) Получим теперь формулу поворота непосредственно из геометрических соображений. Пусть P будет основанием перпендикуляра из точки R на прямую OA, a N — основанием перпендикуляра, проведенного из точки S на прямую PR (рис. 13). Прямая NS перпендикулярна к плоскости POR, и
п X г = г sinty-w = pw,
где r = \r\, p = PR, а w—единичный вектор в направлении NS. Теперь имеем
sin a (п X г) = р sin a • w = NS
и окончательно
8 = г + RN + NS = /• — (I — cosa) {г — (п-г) и.} + sin а (и Xr) =
= yr -\-(\—у) (п-г) n-\-anXr,
что и требовалось доказать.
3) Формулу поворота можно получить, вводя новые оси ОуіУіУз таким образом, чтобы ось Oy1 была осью вращения. Докажем сначала лемму, которая нам часто будет нужна в дальнейшем.
JI е м м а. Если триэдр OY1YzY3 поворачивается на угол а около оси OY\, то матрица направляющих косинусов в новом положении, обозначаемая
3
Рис. 13.
§ 7.7]
ПОЛУОБОРОТЫ И ОТРАЖЕНИЯ
111
через I1, дается уравнением
I1 = R1I, (7.6.5)
где R1 — ортогональная матрица:
/10 0 \ R1=JO cosa sin et J. (7.6.6)
\0 —sin a cosa/
Заметим, что направляющие косинусы прямой" равны координатам точки этой прямой, находящейся на единичном расстоянии от точки О. Из равенства у — Ix следует, что х = Vy, и, следовательно,
/10 0 \ V1 = V 0 cosa — sina I = VR[. (7.6.7)
\ 0 sin a cos a /
Формула (7.6.5) получается отсюда транспонированием.
Теперь, пользуясь леммой, выведем формулу поворота. Заменяя вектор г матрицей-столбцом х, а вектор s матрицей-столбцом x1, получаем
у = Ix = I1x1, (7.6.8)
откуда
x1 = I[Ix = VR[Ix=Wx, (7.6.9)
