Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
W - [А 41 ^ + 541 ?2 + Сіг = XA. (8.2.4)
Составляющая ускорения вдоль а-направления имеет следующее выражение:
пли подробнее:
v •• • / дА ' , дА A , OA -\ 1 I л дА '„ , D дБ • дС •Л
Х = Аа+2а (— а->- ^? у) - (А — а2 + В Ж^-[С — у2) .
(8.2.6)
Составляющие ускорения по направлениям ? и y выражаются аналогичным образом.
Отметим два важных частных случая:
1) Для цилиндрических координат г, 6. z имеем
ds2 = dr2 + гЧв2 + dz2 (8.2.7)
126
ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА
[Гл. VIII
и составляющие ускорения равны
г — г Q2, гЄ + 2гЄ, z . (8.2.8) 2) Для сферических координат г, Э, ср имеем
ds2 = dr2 + rW + г2 sin2 9 dtp2 (8.2.9) и составляющие ускорения равны
г — г (9^+ sin2 9 ср2), гб + 2r6 — г cos 9 sin 6 ср2, V (8.2.10)
7- sin бер + 2 (г sin 8 -f- г cos 9 9) ф.
§ 8.3. Обезьяна и противовес. Рассмотрим снова пример 4.4В. Через гладкий блок переброшена легкая гибкая нерастяжимая нить, на одном конце которой укреплен груз массы M, а по другому концу взбирается вверх обезьяна массы т, причем ее перемещение относительно нити задано как функция времени ф (t). Как и ранее, будем предполагать, что ф ? C2, ц> (0) =
= Ф (0) = 0 и что в начальный момент система находилась в покое.
Этот пример относится к типу задач, рассмотренных в § 6.5: работа заданных сил на виртуальном перемещении равна —6„У, где V явно зависит от t, но символ 6а указывает, что перемещение рассматривается при фиксированном t. Если через z обозначить высоту подъема обезьяны за время t, то высота противовеса будет равна с + ф — z. Имеем
t = y {mz* + m (ф - z>}, (8.3.1)
V = mgz+ Mg(4 — z). (8.3.2)
Уравнение Лагранжа имеет вид
-±{(m + M)z-My}= -(m-M)g, (8.3.3)
и мы снова приходим к формуле (4.4.7):
2
так как при t = 0 величины ф, ф, z, z обращаются в нуль.
(т + M) z = Мф + Y (M — т) gt2,
§ 8.4. Кинетическая энергия твердого тела. Допустим сначала, что тело имеет неподвижную точку О. Если OA, OB, ОС — главные оси инерции в точке О, a CO1, со2, со3 — составляющие вектора угловой скорости по осям OA, OB, ОС, то можно написать
T = YSm {(CO2C - CO3O)2 + (Co3U-CO1C)2+ (Co1O- со2а)2}. (8.4.1)
Здесь а, 6, с — координаты частицы тела по осям OA, OB, ОС. Поскольку эти оси фиксированы в теле, величины а, Ъ, с постоянны. Так как
Smbc = Smca = Smab = 0, (8.4.2)
то выражение (8.4.1) переписывается в виде
T = Y Sm {(? + с2) а» + (с2 + а2) со* + (а2 + Ъ2) со*} = 1 (Лео? + віл\ + C^,
(8.4.3)
§ 8.4]
КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
127
где А, В, С — моменты инерции тела относительно осей OA, OB, ОС, т. е. главные моменты инерции тела в точке О.
Пусть теперь тело совершает движение в пространстве. Обозначим через I, г), ? координаты центра тяжести G (относительно неподвижной системы Oxyz), и пусть главными осями инерции в точке G будут GA, GB, GC Если сої, OJ2, ш3 — составляющие угловой скорости по осям GA, GB, GC, то по теореме Кёнига (§ 7.1) имеем
T = -1M ф + т> + fr) +1 (Лео? + BwI + CwI). (8.4.4)
Чтобы воспользоваться этой формулой для составления уравнений Лагранжа, величины сої, со2, Co3 следует выразить через лагранжевы координаты, например углы Эйлера или углы ері, <р2, ср3 (§ 7.16).
Указанный выше способ составления выражения для T отличается простотой и наглядностью, хотя на первый взгляд может показаться, что он не связан прямо с первоначальным определением T (§ 3.3):
1 ...
T=YSm(x2+y2+z2)- (8.4.5)
Между тем следует отметить, что практически весьма удобно делать непосредственные выводы из формулы (8.4.5). Пусть
* = I + + Ы2 + Cl3- (8.4.6)
Обозначив направляющие косинусы оси GA через I1, ти Ji1 и т. д., составим матрицу I (см. § 7.3):
/I1 In1 гаД
1=іія т2 пЛ. (8.4.7).
V3 OT3 п/
Направляющие косинусы являются некоторыми простыми функциями лагранжевых координат (§§ 7.11, 7.12). Имеем
x = i-\-ak+bi2 + ciz. (8.4.8).
Аналогичные формулы получаем для у и z. Поскольку
Sma = Smb = Smc = 0, Smbc = Smca = Smab = 0, (8.4.9)-
формула (8.4.5) для T принимает вид
T = Y M (|2 + м2 + І2) + Y Sma% (k+™1 + к) +
,1 ... 1 ...
+ ySmbS Vl + ml + nl) +Y-Sm-c^ (/J + m|-f га|). (8.4.10)
Выразим теперь I1 через 9, <р, ij> или <pb <р2, <р3. Вычисления, которые необходим» при этом проделать, не особенно сложны, но их можно еще более упростить, если заметить, что I1, I2, I3 определяют единичный вектор постоянного направления, так что
Z1 = Z2CO3 Z3CO2. (8.4.11}
Таким образом,
T=YM(i2+42+& + . і
+ Y Smai {(кЩ— кЩ)2 + ("I2W3—"I3CO2)2 + («2W3 — TJ3W2)2} +...--1 ... 1
і і
¦і- Y Sm№ (ul + aD + Y Sтс* (ml+ (»I), (8.4.12)
мы сразу приходим к (8.4.4).
128
ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА
[Гл. VIII
§ 8.5. Задача о движении в двух измерениях. В качестве примера движения в двух измерениях рассмотрим следующую задачу. Тонкая однородная цилиндрическая оболочка массы M и радиуса Ъ катится по горизонтальной плоскости, а другая цилиндрическая оболочка массы т и радиуса а катится внутри первой. Все поверхности считаются идеально шероховатыми, так что качение происходит без скольжения.
