Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
(А2 + со2) (А4 + CO2A2 + Асе4) = 0, (29.9.1) где, как и в (29.7.22),
]с — 27 m2m3 + "i3Tn1+ mtm2 (29 9 2) — 4 (т1 + тг+т3)2 ' ' '
Таким образом, система будет устойчива по первому приближению, если корни уравнения
х2 4- со2ж 4- к со4 = 0 (29.9.3) вещественны и отрицательны; последнее имеет место при
k<-j, (29.9.4)
т. е. когда
27 (т2т3 -+ Tn3Tn1 + Tn1Tn2) < (Tn1 + т2 + т3)2. (29.9.5)
Смысл неравенства (29.9.5) станет более ясным, если привести следующую геометрическую интерпретацию. Возьмем (mi, т2, т3) за декартовы координаты вспомогательного пространства. Условие (29.9.5) можно переписать так:
3 т/з
т1 + т2 + т3< * а, (29.9.6)
причем
ml +ml +т* = а?. (29.9.7)
§ 29.10]
ПРЕОБРАЗОВАННАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
587
Последнее уравнение определяет сферу радиуса а с центром в начале координат О, а уравнение
3 уз
(29.9.8)
определяет плоскость со, расстояние которой от точки О составляет три пятых ее расстояния от плоскости, параллельной ш и касательной к сфере. Неравенство (29.9.6) показывает, что точка (mi, m2, т3) лежит на той части сферы, которая расположена в положитель номоктанте и ограничена координатными плоскостями и плоскостью со. Указанная область на сфере состоит из трех отдельных частей, каждая из которых ограничена дугами двух больших кругов и малой окружностью вблизи точек [а, 0, 0), (О, а, 0), (0, 0, а) соответственно, так что одна масса должна быть намного больше остальных. Если mi — наибольшая из трех масс, то достаточным условием устойчивости будет
mi > 26 (m2 + m3). (29.9.9)
Если величины Тої, то2, To3 удовлетворяют неравенству (29.9.5), то решение для равностороннего треугольника Лагранжа будет устойчиво по первому приближению. Однако, как мы видели, это еще не означает устойчивости при переходе от линейного приближения к точным уравнениям движения.
§ 29.10- Преобразованная форма уравнений движения. Перейдем теперь от движения в плоскости к общему случаю. Откажемся на время от предположения, что центр масс G находится д
в покое. Обозначим вектор AiA2 через и, а вектор HA3 (ще H — центр масс двух частиц Ai и A2) — через v (рис. 120). Вектор A2A3 равен — ociM + v, а вектор AiA3 равен а2и + v, где
а.
т4
mi -р- т2
ОС,
т2
(29.10.1)
Рис. 120.
Обозначим теперь составляющие и через х, у, z, а составляющие v — через |, т], ?. Выразим T через эти координаты по формуле (29.1.6). Опуская временно члены, обусловленные движением центра масс, запишем те слагаемые в выражении для Г, которые связаны с относительным движением в направлении оси х:
<J • • • • •
2м {т2тз (— ъ& +I)2 + Tn3Th1 (а2х + |)2 + To1To21T2} =
''2M
= J-i 2М X
m2m3m{ + m3mim§
(mj+тг)2 т 1/Ti2Af mt + m2
где
то =
тіт2
TO1TO2J Xі + (TO1 + TO2) то3?2} =
+ (TO1-T-TO2)To3I2} = і ті» +1(4«, (29.10.2)
(mi + m2) m3
(29.10.3)
ml + m2 mi-\-m2-\-m3
Присоединяя соответствующие выражения для координат у и z, получаем следующую компактную формулу:
T = 1M ф + F2 + І2) +1 то (i2 + у* + z2) +1 ц. (|а + г,2 + ?2). (29.10.4)
Далее имеем
Tn2Jn3 m3mi т{т2
Гг
гз
(29.10.5)
588
ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
[Гл. XXIX
где
\-aiu + v\2 = (-alx + lY+(-a1y + ^+(-a1z + t!)2, \a2u^v\* = (а2х +?)2 + (0??, + T1)2 + (a2z -f S)2, } (29.10.6)
r2 = |M|2 = z3 + i/2 + z2. Лагранжевы уравнения движения имеют вид
dU
MX
&и_
'' дХ
тх =
дх
V 9U
(29.10.7)
и аналогично для координат у и z.
Прежде всего заметим, что функция U не зависит от X, Y, Z, поэтому
из первого уравнения (29.10.7) следует, что X = 0. Точно так же получаем, что
X=Y = Z = 0, (29.10.8)
и, следовательно, центр масс G совершает равномерное прямолинейное движение. Векторы ti VL V, определяющие относительное положение частиц, удовлетворяют уравнениям Лагранжа, получаемым из кинетической энергии
T = 4 т (х* + У2 + z2) + ± р (І2 + ri2 + S2)
(29.10.9)
и потенциальной функции U (29.10.5). В результате приходим к задаче с шестью степенями свободы вместо девяти. В самом деле, мы уже видели, что без потери общности можно считать, что центр масс G находится в покое. Второе и третье уравнения (29.10.7) теперь принимают вид
где
тх
А = у В = у
Ax + Bi, ці = Bx- Cl,
т\т$п3
(т1 + т2)2
т1 4т2
[-гТ+-гт)+у
m\m2
(29.10.10)
(29.10.11)
)
Присоединяя соответствующие уравнения для у, векторные уравнения
z, г), ?> получаем
(29.10.12)
mu = — Au + Bv, \xv = Bu — Cv.
Если и и v найдены, то положения частиц относительно центра масс G определяются векторами
— а2и — Qv, (XxU — Qv, (pv, (29.10.13)
где
0:
т3 M '
Ф =
M
(29.10.14)
Если интегралы (29.1.15) момента количеств движения выразить через и и v, они принимают изящную форму. Момент количеств движения относительно оси Ox записывается в виде
To1 (JZ1Z1 — Z1JZ1) -f т2 (JZ2Z2 — Z2JZ2) 4- т3 (y3z3 — z3y3) =
= In1 {(Y-Gt2J/ -6т)) (Z -K2Z -0S) -(Z-Gt2Z - BS) (F-Cc2JZ - срч)} 4-
