Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
*гУз—хзУг ~~ XM1-X^3 ~ X^2-X2U1 '
или
TTL1Z1 vh2Z2 IU3Z3
(29.2.2)
AGiV3 AGP3P1 ~ AGP1P2 '
(29.2.3)
576
ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
[Гл. XX)X
где символом дGP2Ps обозначена площадь треугольника GP2P3 и т. д. Из (29.2.3) заключаем, что
Z1 = Z2 = Z3 = W. (29.2.4)
Отсюда следует, что составляющая Скорости центра масс трех частиц в направлении Gz равна и. Но центр масс находится в покое, следовательно, и = 0. Векторы скоростей частиц в момент t = 0 все лежат в плоскости $ = О, следовательно, движение частиц и в дальнейшем будет происходить в этой плоскости. (Обратно, если движение частиц происходит в плоскости 2 = 0, то две первые составляющие вектора момента количеств движения равны нулю; это условие является достаточным, но отнюдь не необходимым.)
Третья составляющая момента количеств движения обращается в нуль при условии, что
• * • ¦ • •
т± (хіУі — уix1) + т2 (х2у2 — у2х2) + т3 (х3у3 — у3ха) = 0. (29.2.5)
Оно выполняется лишь в исключительных случаях. Если известны координаты всех частиц на плоскости, а также скорости двух первых частиц, то условие (29.2.5) выполняется тогда и только тогда, когда скорость третьей
частицы такова, что импульс т3 (х3у3 — УзРз) имеет значение, определяемое равенством (29.2.5). Мы этот особый случай оставим в стороне и будем считать, что a2 -f- b2 + с2 > 0.
§ 29.3. Три точки Лагранжа. Лагранж указал на то, что в ряде случаев удается получить точные решения уравнений движения. В частности, имеются две задачи, в которых расстояния rt, г2, г3 сохраняют постоянные значения в течение всего времени движения. В первой из этих задач частицы располагаются в вершинах треугольника постоянного размера й постоянной формы, а во второй задаче они располагаются вдоль одной прямой.
Начнем с выяснения вопроса о том, возможно ли вообще такое движение системы, при котором треугольник AiA2A3 вращается в собственной плоскости с постоянной угловой скоростью со вокруг точки G, находящейся в покое. Равнодействующая всех сил, действующих на частицу A3, в любой
момент времени должна быть равна Tn3GA3(H2 и
следовательно,
направлена вдоль прямой A3G; должны выполняться условия
SmO1 =
Піі
Та"
sin 6,
(29.3.1) (29.3.2)
Рис. 118.
Через H обозначен центр масс частиц A1 и A2, а через O1, O2-углы HA3A2, A1A3H (рис. 118). Далее имеем
T1 sin Q1 HA2 __ m.j (29 3 3)
r2 sin G2 A1H т2% \ • • і
откуда, учитывая (29.3.1), получаем, что T1 = г2. Аналогичным образом, рассматривая движение частицы A2, приходим к выводу, что T1 = г3. Следовательно, чтобы было возможно такое движение, треугольник A1A2A3 должен быть равносторонним: Обозначим длину его стороны через I.
Обратимся теперь ко второму уравнению (29.3.2). Если провести в треугольнике A1A2A3 отрезок HK параллельно стороне vl1^3 (см. рисунок), то будем иметь
In1
HK = HA2 =
I, KA3 = A1H
In14- тг
(29.3.4)
§ 29.3]
ТРИ ТОЧКИ ЛАГРАНЖА
577
откуда
HA3 = HK cos G2 + KA3 cos B1 = (Ot1 cos O2 + тг cos 9,) 1/(Tn1 + Tn2). (29.3.5) Равенство (29.3.2) теперь принимает вид
GA3^ = ^-(тп,+ TTi2)^, (29.3.6)
или
со2 = умП\ (29.3.7)
Ясно, что аналогичные условия будут выполняться и для двух остальных частиц. Таким образом, мы доказали возможность движения системы, при котором частицы располагаются в вершинах равностороннего треугольника со стороной I, вращающегося с угловой скоростью VyMIl?. Размер стороны I может быть любым, угловая скорость при этом пропорциональна 1~%12 (что с очевидностью следует из теории размерностей).
Докажем теперь, что возможно также движение частиц, когда все они располоя<ены на одной прямой, проходящей через центр масс G и равномерно вращающейся в плоскости. Обозначим расстояния точек A1, A2, A3 от центра G через X1, х2, х3. Без потери общности можно предположить, ЧТО X1 < < X2 <.х3, при этом X1 <С 0 и х3>0. Обозначив угловую скорость через со, будем иметь
(02Х ^2 - Уз , (29.3.8)
1 (z2—Zi)2 (*3—Zj)2 4 ;
= _ + (29.3.9)
2 (Z3-Z2)2 п (Z2-Z1)2 v '
A3 = _UUL + J^. (29.3.10)
d (Z3-Z1)2 ^ (ж3-я2)2 v '
Заметим, что соотношение (29.3.9) справедливо как при положительном х2, так и при отрицательном х2. Сразу убеждаемся, что
TTi1X1 + TTi2X2 -f- TTc3X3 = 0. (29.3.11)
Легко видеть, что равенства (29.3.8) — (29.3.10) определяют отношения T1 : г2 : г3. Положим T1Ir3 = к, тогда
1± — Гг -И к ' Jt-I-I — 1 '
(29.3.12)
и мы будем иметь
TO1 т2-\-т3
х3 — х2 (fc'+l)2 '" /с2 _ (m2 + ro3)(A+l)8 —rot/t^fcZ-f 2ft)
(29.3.13)
Z2-Z1 To3 , ,,яз (To1-I-To2) fc2(/t_|_l)2-_m3 (2/c+l)
-ж+К + ™2)+ (А+1)Я
Отсюда получаем уравнение пятой степени относительно к:
(TTi1 -f- тп2) А;5 + (Sm1 -f 2тп2) к* + (3Tn1 -f- т2) к3 —
— (т2 + Ът3) к2 — (2тп2 + Sm3) к — (m2 + m3) = 0. (29.3.14)
Это уравнение имеет только один вещественный корень; будучи положительным, он определяет единственное значение к для отношения T1Ir3. Расстояние г3 может быть любым, и при этом со2 пропорционально г~\. Если величина г3 задана, то значения X1, X2 и х3 легко находятся. Имеем
