Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Изложенная теория без труда распространяется на случай плоского движения п тел. Если удается получить решение, для которого центр масс G находится в покое, а тела расположены в вершинах равномерно вращающегося многоугольника постоянных размеров и неизменной формы, то можно указать решения (в частности, периодические), в которых тела располагаются в вершинах многоугольника неизменной формы, но изменяющихся размеров. Простейшим является тот случай, когда все тела имеют одинаковую массу т. Очевидно, что существует решение, в котором частицы располагаются в вершинах правильного многоугольника, вращающегося с постоянной угловой скоростью. Пусть а — радиус круга, описанного около многоугольника, тогда угловая скорость будет равна
COS=I^, (29.4Л0)
где
к = -Т У, • / / ч * (29.4.11)
4 Sin(xJX/re) v '
С помощью рассуждений, аналогичных тем, что проводились выше для случая п = 3, можно показать, что существуют решения, соответствующие правильному многоугольнику изменяющихся размеров.
§ 29.5. Случай плоского движения. Исследуем в более общей форме случай плоского движения трех частиц. Возьмем систему осей, вращающихся вокруг неподвижного начала О с постоянной угловой скоростью со. Если
37*
580
ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
[Гл. XXIX
(29.5.3)
через Xi, уі, х2, у2, х3, у3 обозначить координаты частиц относительно вращающихся осей, то функция кинетической энергии запишется в виде
3
T = Y 2ітг{(хг-Щг)2+(Уг + ахг)*}, (29.5.1)
т-= 1
а потенциальная энергия будет равна — U, где
U = y (-A + (29.5.2)
и
г\ = (хз — хг)2 + (у3 — у2У, rl = (Xi—X3)2 +(Уі — у3)2, "І r23 = (x2-x1)2 + (y.,-y1)2. J
Для составления функции Гамильтона нужно
з 3
T2 - и - T0=A2 ^ +- у0)2 2 (** + - (29:5-4)
г== 1 г— 1
выразить через импульсы, исключив скорости (§ 10.14). Обозначая составляющие импульсов рХг и рУт соответственно через \т, Hr1 будем иметь
Ir = mr(xr — щг), Цг = тпг{уг-\ыхг) (29.5.5)
и, следовательно,
Н = 4a~i (H + Ч?) + ^ (й + ЛІ) + ^ <« + ЛЇ) -
— со (ж1ч1 — ^1I1 + я2Ч2 — y2l2 +x3r\3 — IZ3I3) — U. (29.5.6)
Уравнения движения имеют вид
1 е . -1 ї
^r = —ёг+юг/г, г/> = — т)Г — сожг,
|r = C0T)r+_, Лг==_ш?г+_, j
где г = 1, 2, 3.
Коэффициент при —со в формуле (29.5.6) для Я, равный
Ъ(хгЦг-Уг1г), (29.5.8)
г= і
представляет собой момент количеств движения системы относительно точки О. Уравнения (29.5.7) показывают, что эта величина в течение всего движения остается постоянной.
Возникает вопрос: существует ли такое решение, в котором частицы остаются в покое относительно вращающихся осей? Подобное решение можно назвать равновесным решением. Если равновесное решение существует, то оно обращает правые части уравнений (29.5.7) в нули, откуда следует, что
+ mru)2xr = 0, -^- + тт(й2Уг = 0. (29.5.9)
Обратно, если существуют значения X1, г/1; х2, у2, х3, у3, удовлетворяющие уравнениям (29.5.9), то существует равновесное решение, для которого величина |г имеет значение — тптщт, а величина г]г — значение mraxr. Таким образом, равновесные решения определяются теми точками
§ 29.6]
КООРДИНАТЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ЧАСТИЦЫ а,
581
пространства (z4, Jz1, х2, у2, х3, у3), в которых функция
3
U4-і-со2 2 mr(*? 4-z/?) (29.5.10)
принимает стационарные значения.
Ясно, что в равновесном решении центр масс трех частиц расположен в точке О и находится в покое. Это почти сразу вытекает из уравнений (29.5.9). В самом деле, если записывать подробно, то эти уравнения будут иметь вид
(^x1 = у {¦—(X1-X3)+-^-(X1-X2)X , )
3 J I (29.5.11)
w2JZi = T {Щ-(Уі — Уя) +~г (Уі — JZ2)} J и т. д. Мы видим, что
wii^i 4- Tn2X2 4- тп3х3 = 0, (29.5.12)
тпіУі 4- W2Jz2 + тп3У3 = 0, (29.5.13)
и, следовательно, центр масс трех частиц находится в покое в точке О.
Проведем теперь ось X через точку, занимаемую частицей A3 (что можно сделать без потери общности); при этом X3 > 0, у3 = 0. Тогда из последнего уравнения для у (29.5.11) получаем
mi|i_ + j^2._0) (29-.5.14)
и так как
miJZi + тп2у2 = 0, (29.5.15)
то
тіУі (-1-^-)=0. (29.5.16)
Таким образом, либо T1 = г2, либо ух = 0. Если T1 = r2 = I, то уравнение (29.5.11) для X вместе с уравнением (29.5.12) приводят к равенству со2 = уМ/l3 (см. (29.3.7)), и тогда уравнение (29.5.11) для у вместе с (29.5.15) дают r3 = I.
Если JZ1 = 0, то и у2 = 0, так что все три частицы располагаются на одной прямой. Предполагая, что частица A2 находится между A1 и A3 и что A3 имеет положительную координату х, можем написать
X1 < 0, х3 > 0, T1=Z3-X2. F2=Z3-S1, T3 = Z2-Z1. (29.5.17)
Формулы (29.5.11) для z теперь совпадают с (29.3.8) — (29.3.10).
Таким образом, мы получили все равновесные решения; в этих решениях частицы располагаются либо на одной прямой, либо в вершинах равностороннего треугольника.
§ 29.6. Координаты относительно частицы Az- Вернемся к общей теории плоского движения, причем будем пользоваться обозначениями § 29.5. В частности, функцию Гамильтона возьмем в форме (29.5.6).
