Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Введем координаты частиц A1 и A2 относительно частицы ^I3:
Qi = X1-X3, ^2 = JZ1-JZs, ї
Яз = х2—х3, Qi = у2 — JZ3, I (29.6.1)
Яь = х3, Q6 = у3. J
Относительно частицы A3 частица A1 имеет координаты (дч, д-2), а частица A2 — координаты (q3, ^4). Формулы (29.6.1) определяют контактное преобразование, которое является расширенным точечным преобразованием с
582
ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
[Гл XXIX
(29.6.4)
производящей функцией
W = P1 (X1 — X3) + р2 (уt — у3) + р3 (X2 — X3) +
+ Pi (Уг — Уз) + P8Z3 + РьУз- (29.6.2)
Уравнения преобразования
* = Ь = ^' * = 1!г- »¦ = 1,2,...,6:.= 1,2,3, (29.6.3)
дают (29.6.1) и соотношения
Il = Pb 41=/?. I2= РЗ, I)2=Pl, )
і3=—Рі—Рз + Рі, 113=-^2-^4+^6- /
Поскольку W не содержит t, новая функция Гамильтона будет иметь вид H = L-Ii1 (pi +pt) +-J р2 (pi +pi) + -рз{(P1 + P3-P5)2 +(р2 + Pi-р6)2} -
— со (д^з — g2p( + q3Pi — qtp3 + qtpe — q6pb) — U, (29.6.5) где рг = l/mr, а функция U равна
^ = 7 (A + ^+A), (29.6.6)
причем
A = ql + q\, r\ = q\+q\, r\ = (Ql-q3)2 + (q2-q,f. (29.6.7)
§ 29.7. Движение в окрестности равновесного решения. Воспользуемся функцией Гамильтона (29.6.5) для изучения вопроса об устойчивости (в смысле первого приближения) системы трех точек Лагранжа. Рассмотрим сначала равновесное решение во вращающихся осях, причем для определенности возьмем решение, в котором частицы располагаются в вершинах равностороннего треугольника. Допустим, что существует решение уравнений движения, которое мало отличается от равновесного решения. Пусть (</?, р°) есть равновесное решение. Положим
qr = qT+ur, Pr=p°T+vr, г = 1,2, . . ., 6. (29.7.1)
Формулы (29.7.1) определяют контактное преобразование. Новая функция Гамильтона, записанная в переменных ur, vr, не содержит линейных слагаемых. Так как и, v остаются малыми, то первое приближение мы получим, если в уравнениях движения сохраним лишь линейные члены, что равносильно сохранению одних только квадратичных членов H2 в функции Гамильтона. Указанное первое приближение определяется уравнениями
^ = • ^=-?' »¦=1,2...,6. (29.7.2)
Выберем оси координат так, чтобы
її=-?0. = T*, Ql = Ql = ^-I- (29.7.3)
Квадратичные слагаемые в правой части (29.6.5) не затрудняют составления функции H2: нужно просто заменить переменные (qT, рт) на переменные (ит, и,). (Заметим, что нет нужды вычислять невозмущенные значения Pr переменных рг.) Для вычисления членов H2, обусловленных функцией U, имеем
т\=[-±1+ u3f+(J^-1+ и,)', (29.7.4)
± = {Iі + I ( - щ +1/3 U4) + (ul.і- ul)}-1/2. (29.7.5)
г1
§ 29.7]
ДВИЖЕНИЕ В ОКРЕСТНОСТИ РАВНОВЕСНОГО РЕШЕНИЯ
583
Квадратичными членами разложения 1/T1 будут
Jj3 (— и-1 — 6 УЗ щщ + Ьи\).
(29.7.6)
Рассуждая аналогичным образом относительно переменных г2, г3, получаем следующее выражение для членов второго порядка, обусловленных функцией U:
¦ 6 У'д U3U4+ Ьи\) + [X2 (— и2+ 6 У3 U1U2 + 5u2) +
+ 4р3 [2 (U1 - U3Y- (U2 - U4)2]}, (29.7.7)
где
| __ To1To2To3 _ To1W2W3 а ^ /з M
(29.7.8)
Таким образом, линейное приближение мы получаем из функции Гамильтона
U2 = у H-i + 4) + у H2 (^ + О + у Из {(Wi + v3 — V5Y +
+ {v2 + ^4 — 1?)2} — со (U1V2 — U2V1 + u3vt — u4y3 + u6ve — u6i;5) — (72. (29.7.9)
Теперь мы можем вычислить правые части уравнений (29.7.2); эти уравнения имеют вид
¦ w = Aw, (29.7.10)
где w есть вектор {щ, U2, u6, V1, v2, ...,ve}. Чтобы решить вопрос об устойчивости по первому приближению, необходимо знать собственные значения матрицы А. Имеем
I — AT12 + | = (А2 + со2)2 ~°
-В
где В, С, J) — матрицы размером 4x4 вида
Иг —§Из — 3|^3 [X2 8[X3 — 3V"3[x2
.8Нз
0
JJ
-С
(29.7.11)
B =
4(л3 —5[х2 0 0 [X1- 8[X3
31^3[X1 4[X3-O[X1
(29.7.12)
А
— со
0
0
со
А
0
0
0
0
А
— со
0
0
со
А
JJ =
C =
f [X1+[X3 0 [X3
0 Hi + Из 0
Нз 0 Иг+Из
0 [хз 0
(29.7.13)
(29.7.14)
Вычисление определителя размером 8x8 в правой части (29.7.11) довольно затруднительно, однако задачу можно упростить, если воспользоваться следующим приемом. Имеем
0 Т)\
в—си~хс —с) <29-7Л5)
,-С m/ Ii 04/
584
ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
[Гл. XXIX
В силу (29.7.11) уравнение
|-a,J12 + 4| = 0 (29.7.16)
равносильно где
(X2+ w2)2\ DB+DCD-1C] = O, (29.7.17) ' р.2 + рз 0 — рз
""HrI Д, '7'J1,, п" і. <»¦'¦«>
О -Из О
о = [х2рз + [A3[Ii + ^#2 = MI(Tn1Tn2Tn3). (29.7.19)
Следовательно,
'Я2 — со3 — 2A-W О О 2Am А2 —со2 О О
2^47=! О 0 А-со2 -2Ao5 I' <29-7-20>
О О 2Асо А2 —со
Теперь определитель I DB + I)CD-1C | размером 4x4 можно вычислить непосредственно. Выполнив необходимые выкладки, придем к следующему уравнению для собственных значений матрицы А:
А2 (А2 + со2)3 (A* + CO2A2 + Лео4) = 0, (29.7.21)
где
к —:27 т2тз тзГПі тіГГІ2 (29 7 22)