Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
~~ 4 {ті + т2+т3)°- ' \ • • )
Если бы все корни уравнения (29.7.21) были простые и чисто мнимые, то можно было бы заключить, что исходное равновесное решение устойчиво по крайней мере в первом приближении. Однако на данной стадии исследования такого заключения сделать нельзя вследствие наличия множителя А2 и повторения множителя (А2 + со2) в левой части уравнения (29.7.21). В следующем параграфе мы покажем, каким образом порядок системы можно понизить с 12 до 6. Для приведенной системы собственные значения будут определяться уравнением шестой степени
(А2 + со2) (A4 + CO2A2 + ?со4) = 0. (29.7.23)
Это уравнение уже не содержит нежелательных множителей.
§ 29.8. Сведение к системе шести уравнений. Рассмотрим снова функцию Гамильтона (29.6.5). Прежде всего заметим, что функция U не содержит д6 и q6 (что, конечно, очевидно геометрически). Два последних уравнения Гамильтона имеют вид
Ръ ~ шр6 =0, р6 + wp6 = 0. (29.8.1) Составляющие импульса равны
" Ii + І2 + Із = Ры Пі + Лг + чз = Pe- (29.8.2)
так что уравнения (29.8.1) выражают сохранение импульса. Если центр масс G системы находится в покое, то
р5=р6 = 0 (29.8.3)
в течение всего времени движения. Если начальные условия таковы, что центр масс G находится в покое, а начало координат О совпадает с G, то координаты qb, q6 могут быть найдены по известным , q2, q3, qk с помощью
§ 29.8]
СВЕДЕНИЕ К СИСТЕМЕ ШЕСТИ УРАВНЕНИЙ
585
формул
Mq5 = — nitfi — m2q3, Mq6 = — т^2 — m2qk. (29.8.4)
Эти уравнения непосредственно следуют из (29.6.1) и (29.5.12), (29.5.13).
Таким образом, если центр масс G находится в покое и начало координат О выбрано в точке G, то число уравнений системы может быть понижено до восьми. Переменные qu q2, q3, t/4, P1, Pz, Рзі Pi определяются из уравнений Гамильтона, соответствующих функции Гамильтона
H = y V-i (rf + Pl) + \ Н-2 (Pl + Pl)+ y ^ ^р 1 +Рз)2 + (P2 + Pi)2} -
— со (qtp2 — ^p1 + q3pA — ^p3) — U. (29.8.5)
Покажем теперь, как- осуществить дальнейшее понижение числа уравнений — с восьми до шести. Это делается с помощью процедуры, предложенной Якоби и известной как исключение узлов *). Коэффициент при —со в выражении (29.8.5) равен моменту количеств движения системы относительно точки О. Как показывают уравнения движения, эта величина сохраняет постоянное значение. Основная идея метода Якоби заключается в применении такого контактного преобразования, в котором выражение для момента количеств движения
qiPz — qzPi + ЯзРі — ЧіРз (29.8.6)
является одной из новых переменных. С этой целью произведем точечное преобразование
SI1 = CQ1, q2 = SQb 1
q3 = CQ2-SQ3, q, = SQ2+CQ3, j
где
С = cos Q1, S = sin (?4. (29.8.8)
Геометрический смысл такого преобразо- Рис* ^9-
вания очевиден: (Q1, Qi1) являются полярными
координатами точки Iq1, q2) в подвижных осях, a (Q2, Q3) представляют составляющие вектора (q3, </4), параллельную и перпендикулярную вектору (дч, (JT2) (рис. 119). Чтобы определить контактное преобразование — расширенное точечное преобразование (29.8.7), требуется следующая производящая функция:
W = P1CQ1 + P2SQ1 + Рз (CQ2 - SQ3) + р4 (SQ2 + CQ3). (29.8.9)
Уравнения преобразования имеют вид
FiW r)W
qr=*Wr' Pr = St' r = 1>2>3>4> • (29.8.10)
откуда следует, что преобразование определяется уравнениями (29.8.7) и уравнениями
P1 = CP1-SK, P2=SP1+CK, і
P3 = CP2-SP3, р4 = SP2 +CP3, I (^У.o.ll)
где через К обозначено выражение (P4 — Q2P3 + Q3P2)IQ1. Заметим, что Pi = QiPz — <72pi + q3Pi — ЧіРз (29.8.12)
есть постоянный момент количеств движения. Это является отличительной особенностью преобразования Якоби. Новая функция Гамильтона имеет
*) Это название больше подходит для общей пространственной задачи (см. ниже § 29.12).
586
ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
[Гл. XXIX
следующее выражение:
H = у Щ (Pl + К2) + і р2 (P2 -f P^) 4- у Из {(Л + ^2)2 + (P3 + Kf} - WP4-U.
(29.8.13)
Это выражение не содержит Q^, и, следовательно, P4 остается постоянным в процессе всего движения:
P4 = Г. (29.8.14)
Мы снова получили уже известный нам результат. Система, таким образом, свелась к системе с шестью переменными; для функции Гамильтона мы получили выражение
II = 1 Hi (PX + К2) + у (^ + ^) + у Из {(-Pi + ^2)2 + (P8 + Kf)-U,(29.8.15)
где UT обозначает теперь (Г — Q2P3 + Q3P2)IQi- Если эту систему шестого порядка проинтегрировать, то оставшуюся переменную (94 можно будет найти квадратурой из уравнения
Q1 = {Ii1K + рз (P3 + K))IQ1 - со. (29.8.16)
§ 29.9. Устойчивость трех точек Лагранжа. Вернемся к задаче, рассмотренной в § 29.7. Речь там шла об устойчивости равновесного решения в случае, когда частицы находятся в покое (относительно вращающихся осей) в вершинах равностороннего треугольника. Прежде всего заметим, что если возмущения выводят центр тяжести системы из состояния покоя, то нельзя рассчитывать на устойчивость, так как при этом система уходила бы все дальше и дальше от первоначального положения. Поэтому ограничимся рассмотрением лишь таких возмущений, при которых центр масс G остается в покое. При таких возмущениях задачу можно свести к шестому порядку (§ 29.8); собственные значения соответствующей задачи первого приближения будут определяться как корни уравнения