Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Парс Л.А. -> "Аналитическая динамика" -> 266

Аналитическая динамика - Парс Л.А.

Парс Л.А. Аналитическая динамика. Под редакцией Рубашева А.Н. — М.:Наука, 1971. — 636 c.
Скачать (прямая ссылка): analitdinamik1971.djvu
Предыдущая << 1 .. 260 261 262 263 264 265 < 266 > 267 268 269 270 271 272 .. 290 >> Следующая


~~ 4 {ті + т2+т3)°- ' \ • • )

Если бы все корни уравнения (29.7.21) были простые и чисто мнимые, то можно было бы заключить, что исходное равновесное решение устойчиво по крайней мере в первом приближении. Однако на данной стадии исследования такого заключения сделать нельзя вследствие наличия множителя А2 и повторения множителя (А2 + со2) в левой части уравнения (29.7.21). В следующем параграфе мы покажем, каким образом порядок системы можно понизить с 12 до 6. Для приведенной системы собственные значения будут определяться уравнением шестой степени

(А2 + со2) (A4 + CO2A2 + ?со4) = 0. (29.7.23)

Это уравнение уже не содержит нежелательных множителей.

§ 29.8. Сведение к системе шести уравнений. Рассмотрим снова функцию Гамильтона (29.6.5). Прежде всего заметим, что функция U не содержит д6 и q6 (что, конечно, очевидно геометрически). Два последних уравнения Гамильтона имеют вид

Ръ ~ шр6 =0, р6 + wp6 = 0. (29.8.1) Составляющие импульса равны

" Ii + І2 + Із = Ры Пі + Лг + чз = Pe- (29.8.2)

так что уравнения (29.8.1) выражают сохранение импульса. Если центр масс G системы находится в покое, то

р5=р6 = 0 (29.8.3)

в течение всего времени движения. Если начальные условия таковы, что центр масс G находится в покое, а начало координат О совпадает с G, то координаты qb, q6 могут быть найдены по известным , q2, q3, qk с помощью

§ 29.8]

СВЕДЕНИЕ К СИСТЕМЕ ШЕСТИ УРАВНЕНИЙ

585

формул

Mq5 = — nitfi — m2q3, Mq6 = — т^2 — m2qk. (29.8.4)

Эти уравнения непосредственно следуют из (29.6.1) и (29.5.12), (29.5.13).

Таким образом, если центр масс G находится в покое и начало координат О выбрано в точке G, то число уравнений системы может быть понижено до восьми. Переменные qu q2, q3, t/4, P1, Pz, Рзі Pi определяются из уравнений Гамильтона, соответствующих функции Гамильтона

H = y V-i (rf + Pl) + \ Н-2 (Pl + Pl)+ y ^ ^р 1 +Рз)2 + (P2 + Pi)2} -

— со (qtp2 — ^p1 + q3pA — ^p3) — U. (29.8.5)

Покажем теперь, как- осуществить дальнейшее понижение числа уравнений — с восьми до шести. Это делается с помощью процедуры, предложенной Якоби и известной как исключение узлов *). Коэффициент при —со в выражении (29.8.5) равен моменту количеств движения системы относительно точки О. Как показывают уравнения движения, эта величина сохраняет постоянное значение. Основная идея метода Якоби заключается в применении такого контактного преобразования, в котором выражение для момента количеств движения

qiPz — qzPi + ЯзРі — ЧіРз (29.8.6)

является одной из новых переменных. С этой целью произведем точечное преобразование

SI1 = CQ1, q2 = SQb 1

q3 = CQ2-SQ3, q, = SQ2+CQ3, j

где

С = cos Q1, S = sin (?4. (29.8.8)

Геометрический смысл такого преобразо- Рис* ^9-

вания очевиден: (Q1, Qi1) являются полярными

координатами точки Iq1, q2) в подвижных осях, a (Q2, Q3) представляют составляющие вектора (q3, </4), параллельную и перпендикулярную вектору (дч, (JT2) (рис. 119). Чтобы определить контактное преобразование — расширенное точечное преобразование (29.8.7), требуется следующая производящая функция:

W = P1CQ1 + P2SQ1 + Рз (CQ2 - SQ3) + р4 (SQ2 + CQ3). (29.8.9)

Уравнения преобразования имеют вид

FiW r)W

qr=*Wr' Pr = St' r = 1>2>3>4> • (29.8.10)

откуда следует, что преобразование определяется уравнениями (29.8.7) и уравнениями

P1 = CP1-SK, P2=SP1+CK, і

P3 = CP2-SP3, р4 = SP2 +CP3, I (^У.o.ll)

где через К обозначено выражение (P4 — Q2P3 + Q3P2)IQ1. Заметим, что Pi = QiPz — <72pi + q3Pi — ЧіРз (29.8.12)

есть постоянный момент количеств движения. Это является отличительной особенностью преобразования Якоби. Новая функция Гамильтона имеет

*) Это название больше подходит для общей пространственной задачи (см. ниже § 29.12).

586

ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ

[Гл. XXIX

следующее выражение:

H = у Щ (Pl + К2) + і р2 (P2 -f P^) 4- у Из {(Л + ^2)2 + (P3 + Kf} - WP4-U.

(29.8.13)

Это выражение не содержит Q^, и, следовательно, P4 остается постоянным в процессе всего движения:

P4 = Г. (29.8.14)

Мы снова получили уже известный нам результат. Система, таким образом, свелась к системе с шестью переменными; для функции Гамильтона мы получили выражение

II = 1 Hi (PX + К2) + у (^ + ^) + у Из {(-Pi + ^2)2 + (P8 + Kf)-U,(29.8.15)

где UT обозначает теперь (Г — Q2P3 + Q3P2)IQi- Если эту систему шестого порядка проинтегрировать, то оставшуюся переменную (94 можно будет найти квадратурой из уравнения

Q1 = {Ii1K + рз (P3 + K))IQ1 - со. (29.8.16)

§ 29.9. Устойчивость трех точек Лагранжа. Вернемся к задаче, рассмотренной в § 29.7. Речь там шла об устойчивости равновесного решения в случае, когда частицы находятся в покое (относительно вращающихся осей) в вершинах равностороннего треугольника. Прежде всего заметим, что если возмущения выводят центр тяжести системы из состояния покоя, то нельзя рассчитывать на устойчивость, так как при этом система уходила бы все дальше и дальше от первоначального положения. Поэтому ограничимся рассмотрением лишь таких возмущений, при которых центр масс G остается в покое. При таких возмущениях задачу можно свести к шестому порядку (§ 29.8); собственные значения соответствующей задачи первого приближения будут определяться как корни уравнения
Предыдущая << 1 .. 260 261 262 263 264 265 < 266 > 267 268 269 270 271 272 .. 290 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed