Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Ar1 — (к + 1) х2 + х3 = 0. (29.3.15)
Отсюда, учитывая (29.3.11), получаем
_Mx1__Mx2 Mx3 _ t1 ^_ г2 __ г3 (29 3 16)
— {то2+(/с+I)To3} To1-ZCTo3 (/C-J-I)To1-I-ZcTo2 к ' к-\-1 1 ^ ' ' 37 л. А. Парс
578
ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
[Гл. XXIX
Из (29.3.8) и (29.3.10) находим
w2 = +fewmi + TS^^+7^ (29.3.17)
Этот результат, разумеется, можно представить и в других формах.
Выше предполагалось, что частица A2 располагается между A1 и A3. Существуют еще два решения, соответствующие случаям, когда промежуточное положение занимает частица A1 или частица A3.
§ 29.4. Решения, для которых треугольник Лагранжа сохраняет свою форму. Равносторонний треугольник в решении Лагранжа остается неизменным как по размерам, так и по форме. Лагранж поставил следующий вопрос: «Существуют ли такие решения, для которых частицы располагаются в вершинах треугольника, неизменного по форме, но изменяющего свои размеры?» Чтобы ответить на этот вопрос, возьмем неподвижную прямоугольную систему координат и предположим, что частицы расположены в точках с комплексными координатами
wr = xr + iyT = crw, г = 1, 2, 3, .(29.4.1)
где с — комплексные постоянные, a w — комплексная функция времени t. Уравнения движения тогда будут иметь вид
^-t{-t2^+-t5^}- (29-4.2)
и два аналогичных уравнения. Для того чтобы решение имело форму (29.4.1), необходимо, чтобы
C1W = у \т2 , C2~Cl +т '3^-L-X (29.4.3)
и т. д. Следовательно, если существуют постоянные C1, с2, C3 такие, что
-per = у ^m8 ^-^з , /- = 1,2,3, (29.4.4)
где р — вещественное положительное число, то любое решение уравнения
-^jITF (29-4-5>
удовлетворяет уравнениям движения (29.4.2).
Некоторые решения этих уравнений нам уже известны, например решения вида wr = crei(ai, где C1, с2, C3 — значения координат точек Лагранжа при t = 0, отсчитываемых от точки G. В первом из рассмотренных выше случаев точки C1, с2, C3 образуют вершины равностороннего треугольника, причем со2 = уМ/l3. Следовательно, указанные значения C1, с2, с3 удовлетворяют уравнению (29.4.3) при p, = yM/ls.
Уравнение (29.4.5) описывает движение частицы в ньютоновском поле тяготения, а для этой задачи нам хорошо известно решение. Таким образом, мы получили решение задачи трех тел, в котором каждая частица описывает коническое сечение с одним из фокусов, расположенным в центре масс; при этом центр масс находится в покое.
Частицы по-прежнему располагаются в вершинах треугольника, который все время остается равносторонним. Конические сечения, описываемые каждой частицей, имеют один и тот же эксцентриситет. Если сечения представляют собой эллипсы, то движение имеет периодический характер.
Большой интерес представляет случай, когда период движения по эллипсу равен 2л,/со, т. е. совпадает с периодом вращения треугольника Лагранжа. Для этого случая движение' относительно осей, вращающихся с угловой скоростью со, также является
§ 29.5]
СЛУЧАЙ ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ
579
периодическим с периодом 2я/со. Рассмотрим более подробно случай, когда частицы первоначально движутся по окружностям, а затем каждая из них получает небольшой импульс, после чего траектории становятся эллиптическими. Эксцентриситет эллипсов е при этом мал, а период обращения каждой частицы равен первоначальному периоду обращения по окружности. При этих условиях каждая частица (относительно вращающихся осей) остается вблизи своего первоначального положения. Чтобы исследовать движение относительно вращающихся осей, выберем оси Ox, Oy так, чтобы ось Ox составляла угол со* с большой осью эллипса. Координаты частицы относительно вращающихся осей запишутся тогда в виде
X = a (cos ср — е) cos Ш 4- Ь sin ср sin Ы, Л (29 4 61
у= — a (cos ср — е) sincof+u sin ср cos Ш, J '
где а и Ъ — полуоси эллипса, а ср — угол, образуемый радиус-вектором с большой осью эллипса. Но для эллиптического движения, если считать, что в момент t = О частица находится в перигелии, будем иметь (§ 5.5)
cof = ср — е sin ср, (29.4.7)
и формулы (29.4.6) тогда примут вид
? = a(coscp — є) cos (ср — е sin cp) + b sin ср sin (ср — esincp), У (29 4 8)
у=-—a (cos ср — e) sin (ср — e sin ср) -\- Ъ sin tp cos (ср — esincp). j
Эти формулы являются точными независимо от того, мал эксцентриситет е или нет. Однако сейчас нас интересует лишь случай, когда он мал. Разлагая выражения в правых частях (29.4.8) в ряды по степеням е и сохраняя только члены первого порядка, получаем
X = а (1 — е cos ср), у = 2ае sin ср. (29.4.9)
Приближенно траекторией частицы относительно вращающихся осей будет эллипс с центром в точке (а, 0). Длина большой оси этого эллипса в два раза больше длины малой оси.
Подобным же образом можно убедиться в существовании решений во втором случае Лагранжа, когда частицы коллинеарны во время движения. При таких движениях значение к = ri/r3 определяется из уравнения (29.3.14), а значение р == со2 — из уравнения (29.3.17).
Кроме того, существует решение, в котором частицы постоянно движутся вдоль прямой. Отношение Гі/г3 в этом случае по-прежнему равно к-Это решение было известно еще Эйлеру, который тоже получил для к уравнение пятой степени (29.3.14).
