Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
3
т=т 2 Шг +у г+2'')' (29 •1 •
г=1
/Л
Г = }М(Р + УЧ22)т}Ц^К + Р? + й (29.1.5)
t = i м ф + y2+z2) + \ 2 -т-(29Л -6)
где vrs есть скорость частицы A8 относительно частицы Аг,
vis = {X8-Xr)2 +- (У. - г/г)2+ (? - z> = (o, - dr)2 + ф, - ?> 4- (v. - Tr)2. (29.1.7)
При выводе формулы (29.1.6) мы воспользовались элементарным алгебраическим тождеством
(Tn1+Tn2+Tn3) (Tn1Xl -г ™2х\ + m3xl) =
= (Wl1X1 + TIl2X2 + Tn3X3)2 + m2m3 (X3 — х2)2 +
+ Tn3Tn1 (X1 — X3)2 + Tn1TU2 (х2 — X1)2. (29.1.8) Потенциальная энергия системы равна —U, где
U = y ^^3_L'^4+^№j _ (29 19)
*) См. Н. Bruns, Ueber die Integrale des Vielkorper-Problems, Berichte der Koniglich Sachsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. 1887. стр. 1—39.
.574
ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
[Гл. XXIX
Здесь T1 обозначает длину отрезка A2A3 и
r\ = (х3 - X2Y + {Уг -У2)2+ (Z3 - Z2)2 = (а3 - а2)2+ (B3 - ?2)2 + (у3 - у2)2. (29.1.10)
Аналогично определяются г2 и г3.
Рассматриваемая система голономна и имеет девять степеней свободы. Для ее описания нужно девять уравнений Лагранжа или восемнадцать уравнений Гамильтона. Уравнения Лагранжа имеют вид
dU
дхт
ГПтУт
аи
дуг '
TTIrZr-
dU
dzT '
г = 1, 2, 3, (29.1.11)
а уравнения Гамильтона-
TTIrXr = Ir, ГПгУг = Г\г, TTIrZr = ?г,
__ m____ t _ au
дх.
• __ dU ' __ dU
Cr
dzr
, r=l, 2, 3.
(29.1.12)
где через Ii, T)1, Ii, |2, 42, ?2, Із, чЗ) ?з обозначены составляющие импульса.
Существует десять классических интегралов уравнений Лагранжа и соответственно десять классических интегралов уравнений Гамильтона. Шесть из них выражают то, что центр масс G движется равномерно и прямолинейно:
X = U0, Y = V0, Z = W0, (29.1.13)
X = U ot + X0, Y = V ot + Y0, Z = W0t + Z0. (29.1.14)
Условие постоянства момента количеств движения относительно начала координат дает еще три интеграла:
2 тг (yrZr — zTyr) = a,
r=i
з
r=l 3
2 ТПг(ХгУг — УтХт)=С. r= і
(29.1.15)
Их мржно переписать в следующей форме:
(29.1.16)
M (YZ - ZY) + S wir (?rTr - Tr?r) = а,
г=1
3
AT (ZZ — XZ) + 2 (Yr^7- — агуг) =* Ъ,
г=1
3
AT (XY — YX) +YjTTIr (a?, — ?r«r) = С
г=1
Последним классическим интегралом является интеграл энергии
T — U = h. (29.1.17)
Эти десять интегралов представлены нами в лагранжевой форме и выражены через координаты и скорости. Запишем теперь их в форме Гамильтона,
S 29.2] СЛУЧАЙ, КОГДА МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ РАВЕН НУЛЮ
575
через координаты и импульсы:
li+U + h = MU0, T]1 + H2 + T]3 = MV0, C1+ S2+ S3 = AfW0, W1X1 + TTi2X2 + m3;r3 = M (U0t + X0), ЩУі + ГП2У2 + ™ъУг = M (V 0t + F0), TO1Zj + TO2Z2 + TO3Z3 = M (W0t + Z0),
з з 3
S (j/rSr — ZrT)r) = «, S (Zrgr — XrIr) = 6, 2 (ЯгГ)г — УгЬ) = С, r=l r=l r=l
3
1 Xl 1
42
¦(й + л? + Й)-^ = а.
(29.1.18)
Десять интегралов (29.1.18) уравнений Гамильтона независимы между собой и представляют алгебраические соотношения между координатами, импульсами и временем. Возникает вопрос: не существует ли других алгебраических интегралов, не зависящих от уже найденных? Ответ на этот вопрос дается замечательной теоремой, доказанной Брунсом в 1887 г. Оказывается, что новых алгебраических интегралов не существует: любой алгебраический интеграл уравнений Гамильтона для задачи трех тел представляет комбинацию десяти классических интегралов.
Поскольку центр масс G движется равномерно и прямолинейно, мы можем перейти к ньютоновской системе отсчета с началом в точке G. Иначе говоря, можно без потери общности считать, что центр масс находится в покое. Именно это мы и будем постоянно предполагать в дальнейшем. Ориентацию осей можно выбрать так, чтобы ось Gz была направлена вдоль вектора момента количеств движения; при этом две другие составляющие этого вектора будут равны нулю.
§ 29.2. Случай, когда вектор момента количеств движения равен нулю.
При известных условиях каждая из постоянных а, Ь, с в формулах (29.1.15) может оказаться равной нулю. Для этого необходимо, чтобы движение частиц происходило в одной плоскости с G и, кроме того, чтобы в момент J = O момент количеств движения относительно начала О был равен нулю.
Чтобы доказать, что при условии a2 + Ъ2 + с2 = 0 движение происходит в одной плоскости, поместим начало координат в точку G, а плоскость, в которой лежат частицы в момент t = 0, возьмем за плоскость z = 0. Если вектор момента количеств движения относительно некоторой точки равен нулю, то он равен нулю и относительно всех других точек (начало G находится в покое), и, следовательно, три составляющие этого вектора, стоящие в левых частях уравнений (29.1.15), равны нулю при любой ориентации осей. Обращение в нуль первых двух составляющих дает (поскольку Zi = Z2 = Z3 = 0 при t = 0)
TTiIy1Z1 + To2JZ2Z2 + To3(Z3Z3 = 0
TTl1X1Z1 + TTl2X2Z2 + TTl3X3Z3
0,1
о, J
(29.2.1)
так что при ? = 0 составляющие скорости Z1, z2, Z3 связаны соотношениями
TTl1Z1 _ _ TUjZ2 to3z3
