Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
+ т2 {(Y 4- Cc1JZ - On) (Z + cc4z - BS) - (Z + cqz - BS) (Y + ал) - Q^)} +
§ 29.113
ДРУГОЙ ПОДХОД К ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТОЧЕК ЛАГРАНЖА
589
+ т3 {(Y + <рт)) (Z + фо - (Z+ <р?) (Y + фп)} = M (FZ - ZF) + + (т?ос^ + т2а[) (yz — zy) + (m?2 + m2Q2 + т3ф2) (r\t, — ?г|) =
= M(YZ-ZY) +m(yz-zy) + ji (29.10.15)
Интегралы момента количеств движения (29.1.15) тогда принимают следующую форму:
M (YZ - ZY) + m(y'z- zy) ^ |і (г\І - Ы) = а, M(ZX — XZ)+m(zx — xz) + \i(&-li) = b, > (29.10.16) M(XY-YX)+m(xy-yx)+ii(l^-ni) = c. J Поскольку центр масс G движется равномерно и прямолинейно, слагаемые M (YZ —ZY) и [wi (уz — zy) + (X (т)? — Sm)I сами по себе сохраняют постоянные значения. В этом нетрудно убедиться и непосредственно. В самом деле, имеем
-А- [то (yz — гу) + ц (т]? — ?n)] = т (yz — zy)+\i (п? — ?т)) =
5 d , д ~ д
но это равно нулю, поскольку оператор
обращает величины rj, г2, г3 в нуль.
Описанный выше процесс позволяет существенно упростить задачу трех тел. Ее теперь можно трактовать как задачу двух тел, из которых одно имеет массу т и расположено в точке х, у, z, а другое имеет массу ц, и расположено в точке I, т), ?. Действующие на тела силы обладают потенциалом —U, где U определяется формулой (29.10.5). Хотя силы и не направлены вдоль линии, соединяющей частицы, тем не менее главный момент этих сил относительно начала координат
их ( — Au + Bv) + vx (Ви — Cv) (29.10.18)
равен нулю, и, следовательно, момент количеств движения системы относительно начала координат сохраняет постоянное значение.
§ 29.11. Другой подход к задаче трех точек Лагранжа. В качестве первого приложения уравнений (29.10.12) рассмотрим снова задачу, когда ги г2, г3 сохраняют постоянные значения. В этом случае выражения и-и, u-v, v-v остаются постоянными. Будут постоянны также коэффициенты А, В, С в уравнении (29.10.12), причем А и С положительны и, кроме того,
AC-B* = ^mim2m3 te+Jg. + J=*) >0. (29.11.1)
> ' 2'з г3г1 ~г2 i
Так как и'U = const, то
Wu = O, и-и-{-и-и = 0 (29.11.2)
и, следовательно,
mu-u +и •( — Au+Bv) = O. (29.11.3)
Отсюда, учитывая, что «t-M = const, u-v = mv&t, получаем w-w = const и
M-M=O.' (29.11.4)
590
ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
[Гл. XXIX
Таким образом,
u-(—Au + Bv)=0, (29.11.5)
и, следовательно,
Bu-V = O. (29.11.6)
Отсюда следует, что либо B = O, либо u-v = 0 во все время движения.
1) Если B = O, то T1 = r2 = I и векторы и и v удовлетворяют уравнениям вида
и+пЫ = 0, У+р2у = 0, (29.11.7)
где пир — положительные числа. Каждое из этих уравнений описывает движение изотропного осциллятора. Поскольку ] и [ постоянно," решение записывается в виде
г* = Mocos nt-\-uL sin nt, (29.11.8)
где векторы U0 и U1 равны по величине и направлены под прямым углом друг к другу. Если вектор и на вспомогательной плоскости (и0, U1) обозначить через OP, то точка P будет описывать па этой плоскости окружность с постоянной угловой скоростью п. Аналогично
V = Vq cos pt-\- V1 sin pt, (29.11.9)
причем векторы v0, V1 равны по величине и направлены под прямым углом друг к другу. Постоянство скалярного произведения и ¦V показывает, что векторы и0, U1, v0, V1 компланарны и р = п (при этом предполагается, что вращение от V0 к V1 происходит в том же направлении, что и вращение от и0 к U1). Уравнение п2 = р2 в развернутой форме имеет вид
У (^p + ^)=Ymi + ,;2 + m3, (29.11,10)
откуда следует, что r3 = I, т. е. треугольник равносторонний. Он вращается с угловой скоростью п, где п2 = уМ/l3 (см. (29.3.7)).
2) Если В фО, то u-v = u-v = 0, откуда следует, что векторы и и v параллельны и частицы расположены на одной прямой. Предположим противное: пусть векторы и
и V не параллельны. Тогда, поскольку u-v = u-u = 0, вектор и перпендикулярен к плоскости векторов и и v; то же самое справедливо и относительно вектора v. Таким образом, учитывая постоянство | и | и \v\, заключаем, что
V = ри, (29.11.11)
где р — постоянный скалярный множитель. Следовательно, V = ри, откуда
т(Ви — Cv) = p[i (—Au + Bv). (29.11.12)
Но последнее равенство невозможно, поскольку из него следует, что AC — В2 = О, а это противоречит условию (29.11.1). Таким образом, векторы v и и коллинеарны (v = = ри) и частицы располагаются на одной прямой. Соотношение (29.11.12) приводит к квадратному уравнению относительно р:
и,Вр2 — (р,Л — тС) р — тВ = 0. - (29.11.13)
Можно также вывести уравнение пятой степени для величины k = г4/г3, хотя непосредственный метод, изложенный в § 29.3, проще. Предполагая р > Ot1 (что не нарушает общности, а лишь устанавливает определенный порядок расположения частиц на прямой) и учитывая, что | и | = r3, | v \ = T1 + atr3, получаем
оцгз + п = рг3, (29.11.14)
откуда следует, что
р = к + 0S1 (29.11.15)
и
r2 = T1 + r3 = {к + 1) г3. (29.11.16)
§ 29.12]
СВЕДЕНИЕ К СИСТЕМЕ ВОСЬМИ УРАВНЕНИЙ
591
Коэффициенты в уравнении (29.11.13) имеют теперь следующие выражения: А у_ Jo1^4- а2т3 +т.\
