Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
где
г> = I U I2 = X2 + у2 + Z2, р2 = I V I2 = I2 4- tj2 _|_ ?«. (29.13.3)
Кинетическая энергия определяется формулой
f-im^i^-r-zHiF^+ii2+^), (29.13.4)
а интеграл энергии имеет вид
T = Л + U. , (29.13.5)
Интегралы момента количеств движения определяются равенствами
m(y'z — zy)A-\i{x\i — lr\) = a, (29.13.6)
m(zi-xz) + \i($-ti) = b, (29.13.7)
т(ху — уж) +ц.(|ч —t)I) = C. (29.13.8)
Далее имеем
j% ..... . • .. ..... . .
•jp R2 = 2т (хх + yy + zz + x2 + yz + z2) + 2u- (|| + т]Т| + ?? +12 + т)2 + ?2).
(29.13.9)
38*
(29.12.28)
596
ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
[Гл. XXIX
С другой стороны, в силу (29.10.7)
т (хх + уу + ZZ) + р (II + трі + Ш =
-^i^Vlyr+zi + l^^^ + t^)u=-U, (29.13.10)
ибо функция U однородна степени —1 относительно переменных х, у, Z, |, и, ?. Равенство (29.13.10) вместе с (29.13.5) приводят к формуле Лагранжа
-^R2 = 2U + Ah. (29.13.11)
RR = mrr + ррр, (29.13.12)
Далее имеем
так что
R2R2 = (тг2 + рр2) (тг2 + рр2) — тр (гр - рг)2. (29.13.13) Следовательно,
R2 = mr2 f рр2_ .SL (гр - рг)2. (29.13.14)
Кроме того,
(а* + г/2 + Z2) + + г2) = (га + yy + Zz)2 +
+ {(г/z - zy)2 + (zi - xz)2 + (х'у-у X)2}, (29.13.15)
откуда
1
г2 = X2 + z/2 + z2 — -i- {(z/z — zy)2 + (аг — хг)2 + (xy — ух)2}. (29.13.16)
Подставляя это выражение для г2 и аналогичное выражение для р2 в правую часть (29.13.14) и учитывая (29.13.5), приходим к формуле Зунд-мана
R2 = 2h + 2U - S, (29.13.17)
где
S = TT {(У2 — гУ)2 + (zx — xz)2 + (xy — yx)2} +
+ -i- № - ^)2+ (d-ltr + (6t| - ЛІ)2} + 5? (rp - PO2- (29.13.18) Исключая U из (29.13.17) и (29.13.11), получаем
2RR + R2-2h = S. (29.13.19)
Рассмотрим теперь S как функцию семи переменных (yz — zy),
• • • ¦ • •
(zx — xz), (|т)— ні), (rp — pr), подчиняющуюся соотношениям (29.13.6) — (29.13.8). Наименьшее значение, которое может иметь выражение
J^(y'z-zy)2+^(4-6\Y (29.13.20)
при дополнительном условии (29.13.6), равно a2/R2. Это очевидно из элементарного тождества
(тг2 + рр2) (-? G2 + -!* - Ф2) = mprV2 (-1 - - J)2 + (іиЄ + РФ)2. (29.13.21) Отсюда и из аналогичных формул приходим к неравенству
S > 62AR2, (29.13.22)
§ 29.14]
ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
597
где
б2 = а2 + Ъ2 + с2. (29.13.23)
Так как случай а = Ь = с = 0 мы исключили (§ 29.2), то б > 0. Из формул (29.13.19) и (29.13.22) находим
2RR + R2 - 2h > 82IR2. (29.13.24)
Если теперь ввести обозначение
F = RR — 2hR -j- ~-, (29.13.25)
то будем иметь
F = k(2RR + R2-2h--^Y (29.13.26)
Неравенство (29.13.24) показывает, что функция F возрастает (или по крайней мере не убывает) с возрастанием R и убывает (или по крайней мере не возрастает) с убыванием R.
Теперь нетрудно показать, что столкновение трех частиц невозможно, если б > 0. Предположим противное: пусть R-^-O, когда t -*- t0 со стороны меньших значений. Тогда F ->• оо при tt0. Далее, формула (29.13.11) показывает, что d2 (R2)/dt2 -+- со при t -> t0, и, следовательно, d2 (R2)/dt2 > 0, если t достаточно близко к t0, например, лежит в интервале /, определяемом неравенствами ti t < t0. В интервале / производная d (R2)/dt растет вместе с t, откуда следует, что в этом интервале d (R2)ldt ^ 0. В самом деле, если бы в некоторой точке t2 интервала / выполнялось неравенство d (R2)/dt > 0, то оно выполнялось бы и в интервале 12 ^ t < t0, что невозможно, так как R-^-O при t—*~ t0. Таким образом, R < 0 в интервале /,
и, следовательно, в этом интервале F 0, что приводит к противоречию, поскольку Fоо при t—у- t0.
Если 6 = 0, то тройное столкновение возможно. В качестве простейшего примера можно привести случай, когда три частицы одинаковой массы начинают свое движение, находясь в вершинах равностороннего треугольника.
Столкновение двух частиц возможно и при б > 0. После такого столкновения частицы движутся так, как описано в § 5.6. (В течение короткого промежутка времени, включающего момент столкновения, влияние третьей частицы пренебрежимо мало по сравнению с взаимным притяжением сталкивающихся частиц, и в течение этого промежутка времени задача фактически становится задачей двух тел.) Особенности в формулах, соответствующие столкновению двух частиц, не являются существенными; они могут быть устранены посредством надлежащего выбора новой независимой переменной. Этот результат содержится в известной работе Зундмана 1912 г. Зундман показал, что координаты трех частиц и время могут быть представлены в виде функций комплексной переменной т, регулярных внутри единичного круга | т | = 1. Координаты при этом определяются степенными рядами по т, сходящимися для всех значений времени. Единственным случаем, на который эта теория не распространяется, является случай тройного столкновения.
§ 29.14. Плоское движение. Другой способ приведения к системе шестого порядка. В § 29.8 мы показали, что уравнения движения в задаче трех тел в случае плоского движения допускают понижение до шестого порядка. Этот результат можно получить и другим путем, если исходить из уравнений в форме, приведенной в § 29.10.
