Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
L' = 2VT{h- V) (27.3.11)
может быть использована в качестве функции Лагранжа и из нее могут быть получены уравнения движения, которым удовлетворяют движения с энергией h. В этом нетрудно убедиться непосредственным вычислением. Заметим при этом, что п дифференциальных уравнений, получающихся из функции Лагранжа (27.3.11), не являются независимыми; этот факт хорошо известен в теории параметрических задач вариационного исчисления. Уравнения определяют только траектории в д-пространстве для движений с энергией h. Чтобы определить скорость движения изображающей точки вдоль траектории, нужно учесть, что полная энергия T + V равна h.
Для доказательства того, что уравнения, полученные из функции Лагранжа (27.3.11), не независимы, достаточно заметить, что, умножая г-е
уравнение на qr и суммируя по г от 1 до п, мы получаем (см. § 6.7)
2i{?(f)-?}-4(2if-'')- ™
Правая часть этого равенства тождественно равна нулю, поскольку функция L' — однородная функция первой степени от переменных q.
В качестве простого примера использования функции Лагранжа (27.3.11) рассмотрим снова задачу о плоском движении частицы в однородном поле g, направленном вдоль оси Oy. В этом случае
Z/ = lA(A + gj/)(i2+l>) (27.3 13)
и координата х является циклической. Поэтому из уравнения движения относительно координаты X получаем
¦\/9.(h. + ?y) Х = const,, (27.3.14)
что эквивалентно (27.3.7). Как мы уже отмечали, уравнение для координаты у не независимо, так что одного уравнения достаточно для определения траектории.
Так как функционал (27.3.2) зависит только от пути изображающей точки в д-пространстве и не зависит от скорости ее движения вдоль него, то независимую переменную t можно заменить на новую переменную |. В качестве такой переменной можно взять, например, одну из координат д. Введем функцию T', являющуюся однородной квадратичной формой переменных q[, q'2, . . ., д„, где q'r = dqTid\. Если
Г = 422а^' (27.3.15)
*) Можно было бы также проинтегрировать уравнение by'2 = у — Ь, применив подстановку у — Ь = z2.
550
ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ
[Гл. XXVII
ТО
г = т22«»г&- (27.3.16)
Для промежутка времени, в течение которого переменная | монотонно изменяется вместе с t, имеем
h _ Ii _
j 2VT(H-V) dt= j 2Vr (h-V)dl, (27.3.17)
to Io
В соответствии с принципом наименьшего действия в форме Якоби можно теперь выражение
Л = 2Vr (h — V) (27.3.18)
принять в качестве новой функции Лагранжа с независимой переменной |, введенной вместо времени. Соответствующие уравнения движения по-прежнему будут определять только траекторию движения, но не скорость перемещения вдоль нее.
В качестве простого примера рассмотрим плоское движение частицы под действием притяжения к центру, когда известна потенциальная функция V = V (г). В полярных координатах будем иметь
7=-1 (г2 4-7-292). (27.3.19)
Полагая I= г, получаем
Л = ]/"2(1 + г29'2) (A-F). (27.3.20)
Координата 9 является циклической, и первый интеграл
дЛ
dQ,=a (27.3.21)
приводит к хорошо известному дифференциальному уравнению орбиты (см. (5.2.42))
"2(А—Г) —(а2/г«)
(27.3.22)
§ 27.4. Теорема Уиттекера *). Интересно попытаться дать элементарный вывод принципа наименьшего действия в форме Якоби для простого случая плоского движения частицы в поле консервативных сил. Рассмотрим в плоскости дугу С. Обозначим через s длину этой дуги между начальной точкой А и текущей точкой Р, а через 9 — наклон внешней нормали в точке P к оси Ох. Будем предполагать, что вдоль кривой С угол 0 все время возрастает вместе CSH является дифференцируемой функцией от s. В частности, если кривая замкнута, то она выпуклая.
Найдем вариацию функционала
Z=J V2 (h-V)ds (27.4.1)
при переходе от кривой С к кривой С", получающейся из С путем смещения ее на расстояние 8р в направлении внешней нормали. Предполагается, что смещение Op непрерывно изменяется в зависимости от s. Вариация функционала равна
67 = 1 У2Ї&Г * +1 VY^=V) 6 (27А2)
Но
-8V = N 8р, (27.4.3)
*) См. Е. Т. W h і t t a k е г, Monthly Notices R. A. S., LXI1, 1902, стр. 186.
§ 27.4]
ТЕОРЕМА УИТТЕКЕРА
551
где N — составляющая силы поля вдоль внешней нормали, а
Ms = 8р dQ = 8р ds/p, (27.4.4)
где р — радиус кривизны кривой С в точке Р. В результате получаем
8/= {-=i=(iV+ 2(h~V)Xbpds. (27.4.5)
Используем сначала эту формулу для вывода принципа наименьшего действия в форме Якоби в одном частном случае. Предположим, что дуга кривой С между точками А и В является частью траектории, и положим вариацию 8р = dp (s) в точках А и В равной нулю. Обозначая скорость частицы через v, можем написать
JV= -u-t= _2(h-V) (27 4i6)
PP к
и, следовательно, подынтегральная функция в (27.4.5) обращается в нуль в каждой точке кривой С. Отсюда следует, что б/ = 0. Таким образом, мы пришли к результату Якоби.
Теперь используем формулу (27.4.5) для доказательства теоремы Уит-текера о существовании простых периодичесих траекторий. Выберем значение h таким, чтобы во всей рассматриваемой области выполнялось неравенство h > V- Пусть С — простая замкнутая выпуклая кривая указанного выше типа; рассмотрим функцию
