Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Парс Л.А. -> "Аналитическая динамика" -> 248

Аналитическая динамика - Парс Л.А.

Парс Л.А. Аналитическая динамика. Под редакцией Рубашева А.Н. — М.:Наука, 1971. — 636 c.
Скачать (прямая ссылка): analitdinamik1971.djvu
Предыдущая << 1 .. 242 243 244 245 246 247 < 248 > 249 250 251 252 253 254 .. 290 >> Следующая


Но

V dqr '

так что (27.1.6) принимает форму

(27.1.6) (27.1.7)

dqr

Последнее эквивалентно

»[(2і^)*-2

Теорема, таким образом, доказана. 2) Из уравнения (26.5.5) имеем

dL dqr

¦ + H1-I0)Sh.

(27.1.8) (27.1.9)

б j Ldt-

to

Но вдоль исходного пути

^~oqr Iі-h (Ot1-Ot0).

dqr to

(27.1.10)

dL

¦L = h.

Аналогичное соотношение будет справедливо и для варьированного пути, если постоянную h заменить на h + hh. Таким образом, соотношение (27.1.10) принимает вид

ti

6 [ (yiQr^-)dt-8{h(ti-t0)}=yi-^8qr ['-H(Ot1-Ot0), (27.1.11)

І V dqr I ^ dqT *°

что и доказывает теорему.

§ 27.2. Принцип наименьшего действия. Из основной теоремы (27.1.5) получаем, что при фиксированных концевых точках и 6h = 0

Ш = 0. (27.2.1)

В этом заключается принцип наименьшего действия. Таким образом, для истинной траектории действие имеет стационарное значение по сравнению с его значениями на варьированных траекториях с теми же концевыми точками (в ^-пространстве) и той же энергией.

Этот принцип проще всего проинтерпретировать на примере голономной системы, когда не возникает затруднений, связанных с возможностью нарушения уравнений связей. Рассмотрим семейство х путей, соединяющих начальное и конечное положения системы и характеризуемых одним и тем же значением энергии Е, равным h. Для действительного пути действие имеет стационарное значение по сравнению с теми значениями, которые оно принимает для других кривых рассматриваемого семейства.

35 л. А. Парс

546

ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ

[Гл. XXVII

Принцип наименьшего действия обычно приписывают Мопертюи *), чье сочинение «Essai de Gosmologie» вышло в свет в 1751 г". В действительности же высказывания Мопертюи основывались на метафизических соображениях и носили туманный и ненаучный характер. Впервые в удовлетворительной форме принцип наименьшего действия был сформулирован Эйлером.

Подобно принципу Гамильтона (§ 3.7), принцип наименьшего действия выражает необходимые и достаточные условия движения. Поэтому из него можно вывести уравнения движения. Однако это сделать значительно трудней, чем из принципа Гамильтона, вследствие ограничения E = А, накладываемого на движения вдоль варьированных путей. В этом случае мы имеем вариационную задачу Лагранжа. Мы приведем здесь этот вывод для натуральной системы. Согласно принципу наименьшего действия функционал

^ 2T dt принимает стационарное значение в классе кривых h

Ii (Oi Чг (*)> ••••?„ (*). удовлетворяющих дифференциальному уравнению

T + V — A = O. (27.2.2)

Будем рассматривать кривые в (п + 1)-мерном пространстве (t, qi: q2, . . ., qn) при фиксированных начальных значениях t0, qt (t0), q2 (t0), . . ., gn (t0) и фиксированных конечных значениях (tt), q2 (ti), . . ., qn (*i), но свободном конечном значении времени tt.

В решении задачи Лагранжа используется правило множителей, на которое мы уже ссылались в §§ 26.1 и 26.2. Требуется составить условия стационарности функционала

J F dt, где

F= 2Г+ X (T + V— А), (27.2.3)

а X есть функция от t, подлежащая определению. Условием на верхнем пределе будет **)

г-УІ-^—о (27.2.4)

dqr

при t = t\.

Ч

Необходимые условия стационарности функционала ^ F dt даются уравнениями



Эйлера:

*) Мопертюи был президентом Берлинской Академии во время царствования Фридриха Великого. В его «Essai de Cosmologie» содержался в весьма туманной форме принцип наименьшего действия, но истинным создателем этой теории следует считать Эйлера. Журдэн в своей книге «The principle of Least Action» (The Open Court Publishing Co., Chicago, 1913) пишет: «То, что Мопертюи сделал неубедительно и сложно, Эйлер сделал с подлинным искусством, просто и убедительно». Работы Мопертюи подвергались критике со стороны его современников, в том числе со стороны гаагского профессора Кёнига. Дискуссия между Мопертюи и Кёнигом перешла в спор между Фридрихом Великим и Вольтером (подобно тому как боги в «Илиаде» продолжают распри смертных!): Фридрих принял сторону Мопертюи, Вольтер — сторону Кёнига. Этот спор в конце концов перешел в ссору, и Фридрих и Вольтер окончательно порвали друг с другом. Присущие Мопертюи самомнение и эксцентричность служили прекрасным поводом для насмешек со стороны Вольтера; остроумная и блестящая «История доктора Акакия и уроженца Сен-Мало» явилась уничтожающей сатирой на Мопертюи. К сожалению, принцип наименьшего действия был открыт намного раньше, чем значительно более простой принцип Гамильтона. Это обстоятельство нашло отражение в известных работах Гамильтона 1834 г. Первая из них посвящена характеристической функции, которая естественным образом связана с принципом наименьшего действия; что же касается главной функции, связанной с принципом Гамильтона, то она появилась лишь во второй работе.

**) Это — известное в вариационном исчислении условие трансверсальности

причем по условию Si0 = O. (Прим. перев.)

§ 27.3]

ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ В ФОРМЕ ЯКОБИ

547

Их можно записать в форме
Предыдущая << 1 .. 242 243 244 245 246 247 < 248 > 249 250 251 252 253 254 .. 290 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed