Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Но
V dqr '
так что (27.1.6) принимает форму
(27.1.6) (27.1.7)
dqr
Последнее эквивалентно
»[(2і^)*-2
Теорема, таким образом, доказана. 2) Из уравнения (26.5.5) имеем
dL dqr
¦ + H1-I0)Sh.
(27.1.8) (27.1.9)
б j Ldt-
to
Но вдоль исходного пути
^~oqr Iі-h (Ot1-Ot0).
dqr to
(27.1.10)
dL
¦L = h.
Аналогичное соотношение будет справедливо и для варьированного пути, если постоянную h заменить на h + hh. Таким образом, соотношение (27.1.10) принимает вид
ti
6 [ (yiQr^-)dt-8{h(ti-t0)}=yi-^8qr ['-H(Ot1-Ot0), (27.1.11)
І V dqr I ^ dqT *°
что и доказывает теорему.
§ 27.2. Принцип наименьшего действия. Из основной теоремы (27.1.5) получаем, что при фиксированных концевых точках и 6h = 0
Ш = 0. (27.2.1)
В этом заключается принцип наименьшего действия. Таким образом, для истинной траектории действие имеет стационарное значение по сравнению с его значениями на варьированных траекториях с теми же концевыми точками (в ^-пространстве) и той же энергией.
Этот принцип проще всего проинтерпретировать на примере голономной системы, когда не возникает затруднений, связанных с возможностью нарушения уравнений связей. Рассмотрим семейство х путей, соединяющих начальное и конечное положения системы и характеризуемых одним и тем же значением энергии Е, равным h. Для действительного пути действие имеет стационарное значение по сравнению с теми значениями, которые оно принимает для других кривых рассматриваемого семейства.
35 л. А. Парс
546
ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ
[Гл. XXVII
Принцип наименьшего действия обычно приписывают Мопертюи *), чье сочинение «Essai de Gosmologie» вышло в свет в 1751 г". В действительности же высказывания Мопертюи основывались на метафизических соображениях и носили туманный и ненаучный характер. Впервые в удовлетворительной форме принцип наименьшего действия был сформулирован Эйлером.
Подобно принципу Гамильтона (§ 3.7), принцип наименьшего действия выражает необходимые и достаточные условия движения. Поэтому из него можно вывести уравнения движения. Однако это сделать значительно трудней, чем из принципа Гамильтона, вследствие ограничения E = А, накладываемого на движения вдоль варьированных путей. В этом случае мы имеем вариационную задачу Лагранжа. Мы приведем здесь этот вывод для натуральной системы. Согласно принципу наименьшего действия функционал
^ 2T dt принимает стационарное значение в классе кривых h
Ii (Oi Чг (*)> ••••?„ (*). удовлетворяющих дифференциальному уравнению
T + V — A = O. (27.2.2)
Будем рассматривать кривые в (п + 1)-мерном пространстве (t, qi: q2, . . ., qn) при фиксированных начальных значениях t0, qt (t0), q2 (t0), . . ., gn (t0) и фиксированных конечных значениях (tt), q2 (ti), . . ., qn (*i), но свободном конечном значении времени tt.
В решении задачи Лагранжа используется правило множителей, на которое мы уже ссылались в §§ 26.1 и 26.2. Требуется составить условия стационарности функционала
J F dt, где
F= 2Г+ X (T + V— А), (27.2.3)
а X есть функция от t, подлежащая определению. Условием на верхнем пределе будет **)
г-УІ-^—о (27.2.4)
dqr
при t = t\.
Ч
Необходимые условия стационарности функционала ^ F dt даются уравнениями
*о
Эйлера:
*) Мопертюи был президентом Берлинской Академии во время царствования Фридриха Великого. В его «Essai de Cosmologie» содержался в весьма туманной форме принцип наименьшего действия, но истинным создателем этой теории следует считать Эйлера. Журдэн в своей книге «The principle of Least Action» (The Open Court Publishing Co., Chicago, 1913) пишет: «То, что Мопертюи сделал неубедительно и сложно, Эйлер сделал с подлинным искусством, просто и убедительно». Работы Мопертюи подвергались критике со стороны его современников, в том числе со стороны гаагского профессора Кёнига. Дискуссия между Мопертюи и Кёнигом перешла в спор между Фридрихом Великим и Вольтером (подобно тому как боги в «Илиаде» продолжают распри смертных!): Фридрих принял сторону Мопертюи, Вольтер — сторону Кёнига. Этот спор в конце концов перешел в ссору, и Фридрих и Вольтер окончательно порвали друг с другом. Присущие Мопертюи самомнение и эксцентричность служили прекрасным поводом для насмешек со стороны Вольтера; остроумная и блестящая «История доктора Акакия и уроженца Сен-Мало» явилась уничтожающей сатирой на Мопертюи. К сожалению, принцип наименьшего действия был открыт намного раньше, чем значительно более простой принцип Гамильтона. Это обстоятельство нашло отражение в известных работах Гамильтона 1834 г. Первая из них посвящена характеристической функции, которая естественным образом связана с принципом наименьшего действия; что же касается главной функции, связанной с принципом Гамильтона, то она появилась лишь во второй работе.
**) Это — известное в вариационном исчислении условие трансверсальности
причем по условию Si0 = O. (Прим. перев.)
§ 27.3]
ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ В ФОРМЕ ЯКОБИ
547
Их можно записать в форме