Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Парс Л.А. -> "Аналитическая динамика" -> 256

Аналитическая динамика - Парс Л.А.

Парс Л.А. Аналитическая динамика. Под редакцией Рубашева А.Н. — М.:Наука, 1971. — 636 c.
Скачать (прямая ссылка): analitdinamik1971.djvu
Предыдущая << 1 .. 250 251 252 253 254 255 < 256 > 257 258 259 260 261 262 .. 290 >> Следующая


s2 _ r2 = _ Ж2( (27.12.(J)

откуда, учитывая (27.12.5), находим

72 = 2j,„. (27.12.7)

Таким образом,

Ih —2/o=s — 2j/o = s— Vs2— г2 =

= 4- (У» + г- У«-г)2 = 1 (X-u.)2, (27.12.8)

2 v к- - і ¦ V ¦/—2 х" г' ' ч"' Рис.112,

где "j/s+r обозначено через A,, a "jA— г— через |я. Далее, из уравнения

УІ—х\ = УІ—Ьу<і{Уі—Уа,

находим

Уі—х\ = УІ—Ьу0 (уі — JZ0) = (JZ1 — 2(/(,)2

~\/уІ — х\ = 2у0—у1 на дуге AB, Уг/f — х\ = У1 — 2у0 на дуге ВС. Следовательно, вдоль дуги AB

(27.12.9)

(27.12.10) (27.12.11)

2 toi-ю>) = Wi - У/!-«f = у (У»і- У»і -si)2 =4 -1D2. (27-12-12)

а вдоль дуги ВС

2 (у і - i/o) = у у + Vvl-il = у (У/1+ *! + У ^i1)2 = у (? + T])2- (27.12.13)

Теперь легко составить уравнение огибающей. Рассмотрим каждый случай в отдельности. Для дуги AB имеем

1 1

уї — Уо=y(Х — ^)2=X (s - 1D2 •

A2+Xfi.+ц2=2« + У«2-^ = 2JZ1 + 4i/o, S2+511 + 112=?! + Уг/Ь1^=^ + 2JZoJ и, следовательно,

1

(27.12.14)

V= (>ь (Хї + Х|1 + J1S) = (g _ л) 2 (?2 +1 л + 1Г2) = у2 (ge _,,•). (27.12.15)

Т/2

Окончательно получаем

Аналогично, для дуги ВС

ЗА

.= -У2 (^3-,)3).

Уя

(27.12.16)

(27.12.17)

Уі~.Уо=у (^-W2 = -4-(6 + 4)2,

А,2+ Xu. + и2 = 2г/! + 4г/0, б'2— |т) + T)2 = 2^1 — У — zf = Уі + 2у0 п, следовательно,

W - |i» = (X-ц) (X2+Xf4 + u2) = L= (I + т)) 2 (б2- ?т) + ті2) = У2 (63+ т)3). (27.12.1 В окончательном виде будем иметь

ЗА:

Vs

= У2 (Is+ті3).

(27.12.19)

Формулы (27.12.16) и (27.12.19) эквивалентны уравнениям (27.11.7) при A- = A-, что мы и хотели доказать.

36 JI. Л. Парс

Глава XXVIII ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ

§ 28.1. Задача трех тел. Задача трех тел принадлежит к числу наиболее известных проблем классической динамики. В ней рассматривается движение трех частиц в пространстве под действием сил взаимного притяжения и требуется определить их положения в любой момент времени, если в момент t = 0 заданы их координаты и скорости. Изучение этой задачи оказало огромное влияние на развитие всей динамики. Многие из наиболее важных результатов этой науки в большей или меньшей степени связаны с задачей трех тел.

Решение задачи двух тел, кратко изложенное в § 5.4 и далее, представляет одно из самых больших достижений ньютоновой механики. В указанном выше смысле эту задачу можно считать полностью решенной, т. е. мы можем определить положения частиц в любой момент времени, если известны координаты этих частиц и их скорости в момент t = 0. Что же касается задачи трех тел, то ее нельзя считать решенной в этом смысле. Однако для многих частных случаев этой задачи, возникающих в астрономии, удается построить приближенное решение с весьма высокой степенью точности. Небесные тела приближенно можно считать имеющими сферическую форму со сферически симметричным распределением массы; взаимное притяжение таких тел таково же, как у частиц, расположенных в их центрах. Если в качестве трех тел рассматриваются Солнце и две планеты, то основным упрощающим условием является то, что массы Tn1 и т2 планет малы по сравнению с массой M Солнца, так что членами третьего порядка относительно TtIiIM и Tn2IM обычно можно пренебречь. (Например, масса Земли составляет менее чем 1/300 ООО массы Солнца.) Если же рассматривается движение Солнца (M), планеты (тп) и ее спутника (ц.), то отношения mlM и ц./М всегда малы и, кроме того, u./m мало, хотя порядок малости последнего отношения и отличается от порядка малости m/M. (Например, масса Луны составляет около 1/80 массы Земли.) Другое обстоятельство, облегчающее построение приближенных решений, заключается в том, что эксцентриситет планетных орбит, как правило, весьма мал (для орбиты Земли он составляет приблизительно 1/60).

В предыдущих главах мы пробовали применить два подхода к решению задачи трех тел. В § 17.10 рассматривалось движение планеты в поле двух притягивающих центров. Если считать, что это движение происходит в неподвижной плоскости, проходящей через притягивающие центры, то можно, как мы видели, дать исчерпывающую классификацию траекторий. Более того, можно найти уравнения траекторий, выразив их через эллиптические функции. Трудности, с которыми мы сталкиваемся в этой сравнительно простой задаче, дают представление о сложности проблемы в общем случае. В § 25.3 мы рассматривали вариации эллиптических элементов. При этом сначала изучалось движение одной планеты относительно Солнца, а затем рассматривались те возмущения, которые обусловлены наличием второй планеты. Второй этап в этих рассуждениях не носил характера самостоятельной задачи: возмущенное движение рассматривалось как непрерывное видоизменение исходного эллиптического движения. Этот метод эффективен, поскольку массы планет весьма малы по сравнению с массой Солнца.

§ 28.2]

ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

563

§ 28.2. Ограниченная задача. Уравнения движения. Органиченная задача трех тел заключается в следующем. Частица А массы а и частица В массы ? движутся под действием сил взаимного притяжения. Центр масс G обеих частиц движется равномерно и прямолинейно, так что без потери общности можно считать, что он находится в покое. Начальные условия таковы, что орбита частицы В относительно А представляет собой окружность с центром в А, следовательно, каждая частица движется относительно центра масс G по окружности. Рассмотрим частицу P пренебрежимо малой массы (так называемый планетоид); пусть эта частица совершает движение в одной плоскости с А и В. Мы будем считать, что она движется под действием Рис. 113.
Предыдущая << 1 .. 250 251 252 253 254 255 < 256 > 257 258 259 260 261 262 .. 290 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed