Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
540
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
[Гл. XXVI
где
y = u(V-T0-h), (26.8.5)
а V и T0 выражены в новых координатах. Уравнениями движения теперь будут
?1=-?;-?-, 9I = W1-J^, (26.8.6)
где
«--(-?--&)• <26-8л>
Траектории, соответствующие энергии h, определяются интегралами системы (26.8.6), удовлетворяющими условию
4 + Я?) +T = O- (26.8.8)
Систему (26.8.6) иногда называют нормальной формой системы с двумя степенями свободы. Эти уравнения описывают плоское движение частицы под действием силы консервативного поля с потенциалом у и гироскопической силы величиной t,v, направленной под прямым углом к скорости v. Здесь гироскопическая сила более общего типа, чем в § 8.8 и § 9.8, поскольку множитель ? не является постоянным и зависит от gt и д2. Если исходная система является натуральной, то ? = 0 и общая задача сводится к задаче о плоском движении частицы в поле консервативных сил.
§ 26.9. Система Лиувилля. Теорема § 26.7 особенно удобна для изучения системы Лиувилля, рассмотренной нами в § 18.1. Система Лиувилля является натуральной системой с п степенями свободы. В простейшем случае имеем
T = T2 = ^-US, V = — , (26.9.1)
(26.9.2)
2
где
s=q\ + q\+ ... + gl, U = X^X2+...+
W = I1^-I2 + . . . + In,
a Xr, |г являются функциями от qr; и и w представляют суммы функций, каждая из которых зависит от соответствующей координаты. Как и в § 26.7, введем новую независимую переменную 0, связанную с t соотношением dt = и dQ. Тогда будем иметь
Л = 4 (q? + q?+-.. + q'n2) +hu-w. (26.9.3)
Интеграл энергии (26.7.8) запишется в форме
у {Ч'г +д'22+.-.+ q'n2) = hu-w. (26.9.4)
Функция Лагранжа (26.9.3) обнаруживает замечательное свойство: она полностью распадается на п независимых функций Лагранжа вида
1 g? + hXT-\r. (26.9.5)
Соответствующее уравнение движения
q"r = -^-{hXT-\r) (26.9.6)
допускает интеграл энергии
*\g* = hXr-lT + cr, (26.9.7)
$ 26.9]
СИСТЕМА ЛИУВИЛЛЯ
541
где согласно (26.9.4) 2сг = 0. Траектории в ^-пространстве для движений с энергией h могут быть найдены путем интегрирования уравнения
dQ (26.9.8)
-]/2{кХг-1г + ст)
и выражения каждого qT через 0.
Сказанное выше без труда распространяется на системы более общего типа, для которых
T = JuS, F =-Jf-, (26.9.9)
где
S=1ZqIZPr, (26.9.10)
а Рг есть функция от qr. (Это обобщение является достаточно очевидным; чтобы получить его, нужно перейти к новым координатам QT, связанным со старыми соотношениями
dQT = dqr/\r?r. (26.9.11)
При этом S принимает вид ZiQr, а и и w по-прежнему представляют суммы функций, каждая из которых зависит от соответствующей координаты.) Вводя, как и ранее, новую переменную 9, связанную со старой соотношением dt = и dQ, получаем для системы (26.9.9)
Л = у2 -^ + hu — w. (26.9.12)
Мы снова обнаруживаем, что функция Лагранжа распадается на п независимых функций вида
JIjL- +hXT-tT. (26.9.13) Интеграл энергии (26.7.8) в данном случае принимает вид
Т2Т7 = /Ш-Ш' (26.9.14)
а интегралы энергии для отдельных систем —
Jq'r3 = Pr(hXr-b+Cr), (26.9.15)
причем Z сг = 0- Зависимость каждой из переменных qr от 9 можно получить, интегрируя уравнение
dqr = dQ (26.9.16)
У2Pr (hXr-lr + Cr)
Этот результат уже был получен нами ранее (см. (18.1.10)).
На первый взгляд может показаться, что в рассмотренных примерах осуществляется полное разделение системы на п независимых систем, подобно тому как это имело место в теории малых колебаний, когда использовались нормальные координаты. Однако такое разделение является в известном смысле кажущимся. Действительно, мы можем получить соотношение между каждым gr и 0 независимо от остальных qr (см. (26.9.8) и (26.9.16)), но этого не удается сделать для соотношений между qr и временем. Следует иметь в виду, что 0 не является истинным временем, соотношение между Q ж t включает в себя все q, поскольку dQ = dt/u.
542
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
[Гл. XXVI
§ 26.10. Конформные преобразования. Рассмотрим систему с функцией Лагранжа
L = ±(iz + y*)-V(x,y). (26.10.1)
В качестве такой системы естественно принять материальную точку, движение которой происходит в плоскости ху под действием сил консервативного поля, причем X и у — обычные декартовы координаты. Можно, разумеется, принять и более сложную систему, для которой X и у будут лагран-жевыми координатами.
Если перейти к новым переменным I, г) с помощью конформного преобразования
X + iy = z = /(?) = f(l + in), (26.10.2)
задаваемого функцией /(?), регулярной в некоторой области ?, то будем иметь
I dz I = M \dl\, где M = I /' (Q I, (26.10.3)
и
(26.10.4)
где
W (I, ц) = V (х, у). (26.10.5)
Применим теперь теорему § 26.7 к системе (26.10.4), положив и = M2. Новая функция Лагранжа (26.7.7) для движений с энергией h будет иметь
вид
Ч
—г I
7-й
Г
Л = у (Г2 + T]'2) + Ж2 (Zt - И7),
(26.10.6)
а интеграл энергии (26.7.8) запишется в виде
Рис. 107.
(26.10.7)
Рассмотрим в качестве примера преобразование
