Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Основная формула (27.1.5) была выведена нами в предположении, что варьирование совершается относительно динамически возможного пути (т. е. пути, удовлетворяющего уравнениям движения). Варьированный путь при этом не является, вообще говоря, динамически возможным путем, но мы остановимся на том частном случае, когда этот путь является динамически возможным. Варьированным движением при этом будет движение системы с немного измененными начальными значениями координат и скоростей.
Определим характеристическую функцию Гамильтона. Эта функция определяется интегралом действия К, взятым вдоль действительного пути и выраженным через начальные и конечные координаты и постоянную энергии к. Обозначим характеристическую функцию через К (ql0, q20, . . ., qn0; Ян, їгь • • •, Qnu А). Основное уравнение (27.1.5) определяет вариацию характеристической функции при произвольных вариациях ее 2п + 1 аргументов. Это соотношение аналогично классической формуле (15.5.11) для
вариации главной функции. Обозначая dL/dqr через рг, можем написать
служит аналогом соотношения (16.5.7) и определяет значение составляющей импульса в конечной точке в зависимости от qrl, qrQ и А. В модифицированной теореме Гамильтона — Якоби (16.5.5) — (16.5.7) характеристическая функция К выполняет роль, аналогичную роли главной функции S в основной теореме Гамильтона — Якоби.
Сравнение характеристической функции Гамильтона с главной функцией показывает, что последняя обладает большей простотой. Поясним это на простом примере. Рассмотрим плоское движение частицы в однородном поле. Если задать начальную точку х0, у0 и конечную точку X1, yt, а также начальный и конечный моменты времени t0 и ti, то движение частицы тем самым будет полностью определено. Отсюда следует, что функция S будет однозначной функцией пяти аргументов: х0, у0, X1, у1: tt — to — и будет определена для всех значений аргументов. (В § 15.9 мы ее вычисляли.) Если же мы зададим точки х0, у0 и X1, г/і и постоянную энергии h, то можем получить либо две траектории, либо одну, либо ни одной. Таким образом, функция К будет многозначной функцией своих пяти аргументов: х0, у0, X1, Уі, А, и определена она будет лишь для некоторых значений аргументов. Выражение для К для рассматриваемой задачи будет дано позже (§ 27.10).
§ 27.7. Пространство конфигураций. Как мы видели в § 27.3, принцип наименьшего действия в форме Якоби позволяет свести задачу об определении траектории частицы, движущейся в силовом поле, к простой вариационной задаче. Действительная траектория частицы доставляет минимальное
olK = 2 Pn dqn — S Pn dqr0 + (*i — У dh.
(27.6.3)
Соотношение
(27.6.4)
554
ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ
[Гл. XXVII
(или по крайней мере стационарное) значение интегралу
J V~2(h-V)ds. (27.7.1)
Сейчас мы рассмотрим аналогичное преобразование задачи в случае системы более общего вида.
Пусть мы имеем натуральную систему, для которой
r = ir22<WMs' (27.7.2)
причем коэффициенты ars суть функции от переменных (gi, q2, . . ., qn), принадлежащие к классу C1. Введем в g-пространстве риманову метрику, определив элементарное расстояние между двумя соседними точками q и q + dq формулой
ds* = ^^rsdqrdqs. (27.7.3)
Если g-пространство обладает метрикой (27.7.3), то его называют пространством конфигураций. Возвращаясь к задаче о движении системы v точек, можем написать
N
ds2 = ^mrdx*. (27 Л Л)
После того как мы определили бесконечно малые расстояния в пространстве конфигураций (формула (27.7.3)), можно перейти к вычислению конечных расстояний между точками. Определим длину спрямляемой кривой в пространстве с помощью интегрирования вдоль этой кривой и введем понятие расстояния между двумя любыми конфигурациями как нижнюю грань (наибольшую нижнюю границу) длин спрямляемых кривых, соединяющих эти две конфигурации. Расстояние между двумя конфигурациями Pi и P2 обозначим через | P1P2 |. Теперь можно легко определить понятие окрестности. Пусть P0 — некоторая конфигурация, а є — положительное число. Множество точек P таких, что
I P0P I < е, (27.7.5)
назовем сферической окрестностью P0. Любое множество конфигураций Р, которое содержит сферическую окрестность P0, будем называть окрестностью P0. Располагая понятием окрестности в пространстве конфигураций, мы можем изучать его топологические свойства.
Кинетическая энергия системы определяется формулой
r = ~s2. (27.7.6)
Она имеет такой вид, словно изображающая точка есть частица единичной массы, движущаяся в пространстве. Но это, конечно, еще не дает полной картины. Аналогия между динамической системой и точкой, движущейся в пространстве конфигураций, распространяется также и на уравнение движения, r-е уравнение движения Лагранжа для системы имеет вид
2 ars<2s-r- 22 luv> 7I^"= ~Jq~* (27.7.7)
где, подобно (6.4.5), через luv, г] обозначен первый символ Кристоффеля,
хотя, строго говоря, следовало бы вместо ду писать дг, как это принято в тензорном анализе. Левая часть равенства (27.7.7) представляет не что иное, как ковариантную составляющую ускорения в пространстве конфигураций. Уравнение движения Лагранжа для системы в точности совпадает с уравнением, выражающим второй закон Ньютона для частицы единичной
