Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
±-P = T = H-V, (27.9.5)
но различна по направлению. Имеем
dK = 2pri dqrl, (27.9.6)
и если (dqt, dq2, . . ., dqn) представляют перемещение вдоль поверхности К = const = к, то
2рп dqrl = 0, (27.9.7)
откуда следует, что траектория пересекает поверхность под прямым углом. Поверхность К = к представляет геометрическое место точек P1, принадлежащих различным траекториям и таких, что интеграл действия J 2Tdt,
взятый вдоль соответствующих траекторий от точки P0 до точки Pt, имеет одно и то же значение к. Поверхности К = к называют поверхностями равного действия относительно точки P0. Таким образом, мы приходим к выводу, что семейство траекторий постоянной энергии, начинающихся в данной
§ 27.9]
ТЕОРЕМА КЕЛЬВИНА
557
точке, ортогонально поверхностям равного действия относительно этой же точки. Это утверждение составляет первую часть теоремы Кельвина.
Рассмотрим теперь точки (qi0, q20, • • •, 5по)> принадлежащие «поверхности» Г0:
ф ІЯш Я20, • • •, Япо) = 0, (27.9.8)
где фб С\. Возьмем в пространстве конфигураций траектории с заданной энергией h, выходящие из точек Г0 перпендикулярно к этой поверхности с одной ее стороны. Если dqQ есть вектор перемещения по поверхности Г0, то согласно условию перпендикулярности
^1Pr0 dqr0 = 0, (27.9.9)
и уравнение dK = 0 снова показывает, что
2рп dgTi = 0. (27.9.10)
Траектории пересекают поверхности К = к под прямым углом. Семейство траекторий, характеризуемых одной и той же энергией и выходящих из точек поверхности Го под прямым углом к ней, ортогонально поверхностям Гй, причем приращение функции действия между этими поверхностями одинаково для всех траекторий. В этом состоит вторая часть теоремы Кельвина.
Поверхность Гк является огибающей поверхностей равного действия К = к относительно точек поверхности Го- Поверхность равного действия К = к относительно точки P0 задается уравнением вида
К (qi0, q20, • • м Япо, Яіи Яги • • •, Япі) =к, (27.9.11)
гДе (<7іі» Яги • • •* Япі) — текущие координаты. Для точек огиЗаюдзї пщ
2^^о = 0 (27.9.12)
2^Т^о = 0. (27.9.13)
при условии
Отсюда получаем соотношение
-l^/^L-const, (27.9.14)
показывающее, что (ковариантный) вектор dK/dqr0 имеет направление нормали к поверхности Г0. Точка касания поверхности (27.9.11) с огибающей расположена на траектории, выходящей с поверхности Г0 под прямым углом к ней.
Укажем на тесную связь между полученными результатами и принципом Гюйгенса в оптике. Траектории частицы в оптике соответствует световой луч, а поверхности равного действия — волновой фронт. Волновой фронт является огибающей частичных волновых фронтов, расходящихся от точек, которые лежали на поверхности волнового фронта в предшествующий момент времени. Различие заключается в том, что в задачах динамики мы имеем дело с приращением функционала действия, а в задачах оптики — с приращением времени.
Как правило (за исключением простейших случаев), определить поверхности равного действия бывает весьма трудно. Приведем два примера, не требующих сложных вычислений.
1) Частица движется в обычном трехмерном пространстве без действия на нее сил. Траекториями являются прямые, скорость вдоль которых равна v = "1/2?. Интеграл
558
ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ
[Гл. XXVII
действия равен
j 2Тdt = vH = vr = г V 2h,
где г — длина отрезка от точки P0 до точки Pi. Поверхностями равного действия относительно точки P0 являются сферы с центром в этой точке; поверхность К = к представляет сферу радиуса к/~[/%п- Если за исходную принять произвольную поверхность Г0, то поверхностями Tk равного действия будут параллельные поверхности, получающиеся из Г0 путем смещения ее вдоль нормали на расстояние fc/"\/2A.
2) Частица движется по гладкой поверхности при отсутствии активных сил. Траекториями в этом случае будут геодезические линии, а поверхностями равного действия относительно точки P0 — геодезические круги с центром в P0.
§ 27.10. Однородное поле. Перейдем теперь к задаче, упоминавшейся в конце § 27.6. Определим характеристическую функцию и, следовательно, уравнение поверхностей равного действия для задачи о плоском движении частицы единичной массы в однородном поле сил. Пространство конфигураций для этого случая есть не что иное, как обычная евклидова плоскость, в которой движется частица. Направим ось Oy вдоль поля, а за поверхность нулевой энергии возьмем ось Ох; тогда будем иметь V = — gy и h = 0. Обозначая через и, v составляющие начальной скорости в точке P0 (х0, у0), можем написать
Отсюда получаем
К
или
где мы положили t0 = 0, ti = 6. Далее,
и2 + v2 = 2gy0, (27.10.4)
и, исключая и и v из правой части (27.10.3), представляем К как функцию от 6:
К = 2gy0Q + gQ (Уі - г/о - 4 г02) + ТГ ^93 = и* +Уо)-Т ^93 = S^-T ^203'
(27.10.5)
где через s обозначена сумма ї/і + 2/o-
Выражая 0 через х0, у0, X1, уь получаем
2gy0Q2 = (и2 + Vі) б2 = (X1 - X0)2+ (у, - у0 - \ gQ2)2 =
= (X1 - х0)2 + (Уі - у0)2 - gQ2 (Уі - у0) + \ g2W, (27.10.6)
что можно представить в форме
