Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Умножая r-e уравнение на qr и суммируя по г от 1 до ге, получаем
<*W>'1(f)-2-!№+}=
=2<'+l>2»^-f (2^f )•
oqr
Следовательно,
^>{l(2-f)-MH<<+*>4r--?.
dV , г, Я' ¦ dT I дТ • , дТ •• \ m
где -^- обозначает сумму 7^- Яг, а --сумму yTfy-^--— ?г 1 • Таким
образом,
(2 + Х)4(Г + ЇО = 2(і + Х)4~2Г^-. (27.2.9)
Левая часть этого равенства тождественно равна нулю, а правая часть эквивалентна выражению
-2 (1 + 1) JL-IT § = -2 А (Г+ХГ). (27.2.10)
Следовательно, величина (1 + А.) У остается постоянной вдоль траектории, и концевое условие (27.2.4) показывает, что эта постоянная равна нулю. Поэтому К = —1 для всех значений t. Отсюда следует, что уравнения (27.2.6) равносильны уравнениям движения Лагранжа.
§ 27.3. Принцип наименьшего действия в форме Якоби. Трудности, связанные с ограничением, накладываемым на вариации в принципе наименьшего действия, иллюстрированные выше, заставили искать новую форму принципа, свободную от упомянутого ограничения. Оказалось, что такая форма принципа получается достаточно просто.
Рассмотрим голономную систему с п степенями свободы и предположим сначала, что система натуральная. Как для исходного, так и для варьированного движения будем иметь
T = H-V = V T (h-V). (27.3.1)
Согласно принципу наименьшего действия функционал
(і
j 2VT(Ii-V)dt (27.3.2)
принимает стационарное значение в классе движений с постоянной энергией h. Теперь, однако, это последнее ограничение (требование о постоянстве энергии всех сравниваемых движений) не является существенным. В самом деле, подынтегральная функция в выражении (27.3.2) является однородной функцией первой степени относительно скоростей, так что значение интеграла зависит только от траектории системы в g-пространстве и не зависит от скорости движения вдоль этой траектории. Таким образом, мы приходим к следующей теореме: интеграл
h
j 2/7•(A-F)*
to
35*
548
ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ
[Гл. XXVII
в действительном движении принимает стационарное значение по сравнению с его значениями для соседних движений, соединяющих те же концевые точки в q-пространстве. В этом заключается принцип наименьшего действия в форме Якоби. Задача об определении траектории изображающей точки в g-пространстве свелась, таким образом, к обычной задаче вариационного исчисления с фиксированными концами.
Для задачи о движении частицы в пространстве под действием сил консервативного поля с потенциалом V выражение (27.3.2) принимает вид
б j /2 (A-F) de = 0, (27.3.3)
где s — длина дуги. Эта форма записи напоминает принцип Ферма в оптике. Принцип Ферма утверждает, что луч света из точки А идет в точку ІЗ таким образом, что время прохождения им расстояния от А до В имеет минимальное (или по крайней мере стационарное) значение. Этот принцип справедлив даже в тех случаях, когда световой луч претерпевает внезапные изменения направления, как это бывает, например, при отражении от зеркала или при встрече с поверхностью линзы с резко отличающимся показателем преломления. В динамике чаще всего приходится встречаться с задачами, аналогичными распространению света в среде с непрерывно изменяющимся показателем преломления р. Скорость света в такой среде пропорциональна 1/р, и путь, для которого время распространения света является наименьшим, определяется из условия минимума функционала
j \ids.
Таким образом, задача динамики об определении траектории движения частицы совпадает с задачей оптики об отыскании формы светового луча, если силовое поле и постоянная энергии в первой из них связаны с показателем преломления во второй соотношением
р = cVh~L-~V.
Если система не является натуральной, то выражение (27.3.2) заменяется следующим:
и
\ {2 VTz (h-V+TQ) + T1} dt. (27.3.4)
"to
В качестве простого примера рассмотрим задачу о плоском движении частицы в однородном поле. Траекториями движения являются кривые, доставляющие стационарное значение интегралу ^ ~[/2 (h—V) ds. Для однородного поля напряженности g,
направленного вдоль оси Oy, потенциал имеет выражение V=—gy и интеграл принимает вид ^ ~\/2 (h-\-gy) ds. Выбирая теперь ось Ox в качестве нулевого уровня энергии, находим, что a=0, и задача сводится к отысканию экстремалей интеграла
j УJ ds= ( Уу(і+у'2) dx. (27.3.5)
Подынтегральная функция / не содержит х, поэтому получаем хорошо известный первый интеграл
/— у'LL = const, (27.3.6)
откуда находим
у = Ь (1 + у'2) = Ъ sec2ф (Ь > 0), (27.3.7) где tg ф = у' выражает наклон траектории к оси х. Имеем
dx = ctg гр dy = 2b sec3 гр іф, (27.3.8)
§ 27.3]
ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ B ФОРМЕ ЯКОБИ
549
откуда получаем *)
X — а = 26 tg гр- (27.3.9)
Исключая if) из (27.3.7) и (27.3.9), находим уравнение траекторий
(ж — а)2 = 4Ь (у — Ъ). (27.3.10)
Ими являются параболы, расположенные в верхней полуплоскости и имеющие ось Ox в качестве директрисы.
Принцип наименьшего действия в форме Якоби показывает, что в случае натуральной системы функция