Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Парс Л.А. -> "Аналитическая динамика" -> 253

Аналитическая динамика - Парс Л.А.

Парс Л.А. Аналитическая динамика. Под редакцией Рубашева А.Н. — М.:Наука, 1971. — 636 c.
Скачать (прямая ссылка): analitdinamik1971.djvu
Предыдущая << 1 .. 247 248 249 250 251 252 < 253 > 254 255 256 257 258 259 .. 290 >> Следующая


$ 27.8]

СИСТЕМА C ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

555

массы, движущейся в пространстве конфигураций под действием поля с потенциалом V.

Принцип наименьшего действия в форме Якоби (27.3.2) для общего случая динамической системы принимает следующий вид:

8 J V2(h — V) O1S = O. (27.7.8)

Это равенство имеет точно такую же форму, как и в простом случае движения частицы в обычном пространстве, отличие состоит в том, что теперь интегрирование производится вдоль кривой в пространстве конфигураций и s здесь обозначает длину дуги этой кривой.

§ 27.8. Система с двумя степенями свободы. Для некоторых простых систем с двумя степенями свободы можно указать поверхность (в обычном евклидовом пространстве), которая гомеоморфна всему пространству конфигураций, иными словами, существует взаимно однозначное отображение пространства конфигураций ,у на указанную поверхность. Рас- [ /~\

смотрим два простых примера. / q J

1) Твердая пластина дви- , / / I г\-

жется в своей плоскости таким : й/л / (\---------\ \

образом, что некоторая ее точка А 4—І- /'¦ /-~х | i\S_J_

перемещается вдоль заданной пря- \J^/ \ I- х- -< 7

мой Ох. Положение пластины в ^-'

момент t можно определить двумя

лагранжевыми координатами: х и Рис. 108.

0, где X есть расстояние OA, а 6 — угол между осью Ox и

отрезком AG, соединяющим точку А с центром тяжести пластины G (рис. 108). Пространство конфигураций в данном случае гомеоморфно поверхности кругового цилиндра с цилиндрическими координатами х, Э, причем х отсчитывается вдоль оси цилиндра, а 6 — от неподвижной плоскости, проходящей через ось.

Если точка А может свободно перемещаться по всей длине оси х, то цилиндр будет иметь бесконечную длину. Если же имеются ограничения, выражаемые неравенствами

X1 < X < X2 (27.8.1)

или

X1 < X < х2, (27.8.2)

то в этом случае длина цилиндра ограничена плоскостями, нормальными к его оси. Пределы в. неравенствах (27.8.1) иногда называют неупругими упорами, а в неравенствах (27.8.2) — упругими упорами.

Интересно отметить, что при ином выборе лагранжевых координат в данной задаче можно добиться фактического равенства линейных элементов пространства конфигураций и его топологического эквивалента — поверхности цилиндра. Имеем

T = J-M {>— 2ахд sin 9 + (а2 + р2) O2}, (27.8.3)

где а обозначает длину отрезка AG, a Mp2 — момент инерции пластины относительно центра масс G. Для пространства конфигураций имеем (полагая M = 1)

ds3 = <fe2 — 2а sin 9 dx dQ + (а2 + р2) dQ\ (27.8.4)

Перейдем теперь к новым лагранжевым координатам §, <р, связанным со старыми соотношениями

9

g = x + acos9, <Р = ~ j Vl-A2 sin2t*h, ft2= д2^р2 , (27.8.5)

о

так что I есть координата х точки G, а ф есть монотонно возрастающая функция от 9, причем значению 9 = 2я соответствует значение ф = 2я. Равенство (27.8.4) при этом принимает вид

ds2 = dl2 + 62Ap2, (27.8.0)

где

. 2Е ^ / „ . . ______

556

ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ

[Гл. XXVII

Элемент длины в пространстве конфигураций |, ср равен элементу длины отрезка на цилиндре радиуса Ъ с Ъ, <р, | в качестве цилиндрических координат. Если нет заданных сил (F=Ob уравнении (27.7.8)), траектории в пространстве конфигураций соответствуют геодезическим линиям на поверхности цилиндра; если последний развернуть на плоскость, то геодезические линии перейдут в прямые.

2) Рассмотрим двойной маятник, составленный из двух стержней AB, ВС, соединенных вместе в точке В, и свободно подвешенный в неподвижной точке А. Такая система может совершать движение в вертикальной плоскости, проходящей через точку А. (Вместо двух стержней мы могли бы взять легкую струну ABC, подвешенную в неподвижной точке А, с массивными грузами в точках В и С.) В качестве лагранжевых координат возьмем углы Э и ф, которые стержни AB и ВС составляют с направленной вниз вертикалью. Пространство конфигураций такой системы гомеоморфно поверхности тора; при этом Э играет роль азимутального угла, а ср — углового перемещения в круговом поперечном сечении, отсчитываемого от центральной плоскости тора.

§ 27.9. Теорема Кельвина. Вернемся к рассмотрению системы с п степенями свободы, пространство конфигураций которой имеет метрическую структуру, определяемую формулой (27.7.3). Можно дать очень простую интерпретацию импульса (pi, р2, • ¦ ., рп) такой системы. Имеем

п

Pr =2 я™?., (27.9.1)

S=I

откуда следует, что импульс есть ковариантный вектор, соответствующий вектору скорости (qu q2, . . ., qn), который является контравариантным. Условие ортогональности смещения dq и скорости q выражается равенством

SSer.g^gr = 0, (27.9.2)

или, короче,

S Pr dqr = 0. (27.9.3)

Рассмотрим в пространстве конфигураций семейство траекторий, характеризуемых одной и той же энергией А. В этом случае формула (27.6.3) для вариации характеристической функции принимает вид

dK = 2рп dqH - Y1Pr0 dqr0. (27.9.4)

Предположим теперь, что траектории с энергией h все выходят из'задан-ной точки P0 ((fro. Q20: • • •. Япо) пространства конфигураций. Начальная скорость при этом для всех траекторий одинакова по величине, поскольку
Предыдущая << 1 .. 247 248 249 250 251 252 < 253 > 254 255 256 257 258 259 .. 290 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed