Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
?f'=sN+2{h~V) (27.4.7)
в точках этой кривой. Если всюду вдоль кривой выполняются неравенства W < 0 и Op > 0, то согласно (27.4.5) б/ < 0. Таким образом, при этих условиях значение функционала / уменьшается при переходе от кривой С к соседней простой замкнутой кривой, окружающей С. Предположим теперь, что существует другая простая замкнутая выпуклая кривая D, окружающая кривую С и такая, что во всех ее точках W > 0. Тогда, если в каждой точке кривой D бр < 0, то 81 < 0, и значение / уменьшается при переходе от кривой D к соседней простой замкнутой кривой, лежащей целиком внутри области, ограниченной кривой D.
Рассмотрим, далее, значения функционала / на простых замкнутых кривых Г семейства х, расположенных внутри кольца, ограниченного кривыми СиА. Предположим, что это кольцо не содержит особых точек функции V. Мы видели, что значения / убывают при перемещении кривой Г наружу от кривой С или внутрь от кривой D. Предполагая, что значения / на кривых семейства х ограничены и что точная нижняя грань этих значений т достигается на некоторой кривой семейства, приходим к выводу, что существует по крайней мере одна кривая Г0, для которой / (Г0) = т. На этой кривой функционал / достигает минимального значения. Очевидно, что кривая Г0 не может совпадать как с кривой С, так и с кривой D ни целиком, ни какой-либо частью. Таким образом, если на кривой CW < 0, а на кривой D W > 0, то в кольцевой области, ограниченной этими кривыми, существует по крайней мере одна периодическая траектория.
Рассмотрим, в частности, случай, когда кривые С vi D сами являются периодическими траекториями, причем кривой С соответствует энергия Zt1, а кривой D — энергия h2, где A1 > п2. Пусть h — любое число, лежащее в интервале между Zt1 и /г2:
Тогда вдоль кривой CW <. 0, а вдоль кривой D W > 0, и, следовательно, по доказанной только что теореме существует замкнутая траектория
552
ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ
[Гл. XXVII
с энергией h, расположенная в кольцевой области, ограниченной кривыми С и D. Мы приходим, таким образом, к однопараметрическому семейству периодических орбит (см. § 15.8, п. 6).
§ 27.5. Исключение координат. Теория исключения координат, развитая в § 10.1, может быть выведена из вариационного принципа, аналогичного принципу наименьшего действия. Мы будем рассматривать функционал, который принимает стационарное значение не во всем классе кривых сравнения, соединяющих концевые точки, а лишь в классе кривых, подчиненных известному ограничению. В этом параграфе мы выведем снова некоторые полученные ранее формулы (см. § 10.1), и хотя здесь мы не получим никаких новых результатов, однако рассуждения, приводящиеся ниже, представляют известный самостоятельный интерес. Возьмем голономную систему с п степенями свободы, причем первые т координат qit q2, . . ., qm будем считать циклическими.
Рассмотрим интеграл
tl т
Ч>-4(2*-)}*- (27-5-1)
(о г=1 °Чт
Для вариации этого интеграла, обусловленной переходом к соседнему пути в g-пространстве, получаем по (26.5.5) следующее выражение:
Ti m
п тп
= { 2 ^*Яг-ЕЫ-2 *'-8(^)}її (27-5-2>
Y=m+l<??r г~1 дЯт °
Но
^ = ?r, г = 1,2, ...,тп, (27.5.3)
dqr
причем теперь мы ограничиваем варьированное движение таким образом, чтобы эти равенства оставались справедливыми. Первые m составляющих импульса в этом движении остаются постоянными, равными их значениям в исходном движении. Учитывая это ограничение, находим
ti m п
•И1-2 * 4-)-( 2 f •*-"¦)?• !2"-<>
t0 r-=l aqr r=m+l "Яг
Отсюда легко получаем требуемый результат. Выражаем подынтегральную функцию в левой части (27.5.4) через ?b ?2, . . ., ?m, qm+i, Чт+г, ¦ ¦ •¦> Яп, исключаем первые m составляющих скорости и вводим вместо них соответствующие составляющие импульса с помощью соотношений (27.5.3) (см. § 10.1). После этого под знаком интеграла будет стоять функция Рауса R, зависящая от явных координат qm+i, qm+2, • ¦ -, <?п и их производных qm+i, qm+2> ¦ ¦ ¦ , qn и содержащая, разумеется, постоянные ?. Если теперь зафиксировать концевые значения явных (не циклических) координат, а также начальный и конечный моменты времени, то получим
h
б j Rdt = Q. (27.5.5)
<о
Уравнения Рауса (10.1.9) выводятся отсюда точно таким же образом, каким уравнения Лагранжа получаются из принципа Гамильтона. Изложенный вывод принадлежит Лармору.
§ 27.6. Характеристическая функция. Обратимся к основному результату (27.1.5). Ограничимся рассмотрением натуральной системы с п степенями свободы. В этом случае будем иметь
L = T-V, (27.6.1)
§ 27.7]
ПРОСТРАНСТВО КОНФИГУРАЦИЙ
553
где
(27.6.2)
Напомним, что варьирование производится в предположении, что вдоль кривых сравнения энергия остается постоянной, равной h + б/г. Это ограничение вариаций, в сущности, не является чересчур искусственным: мы просто требуем, чтобы изображающая точка двигалась вдоль варьированного пути в g-пространстве со скоростью, удовлетворяющей условию T + + F = A+ 6А, причем время движения по этому пути нами не ограничивается.