Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Парс Л.А. -> "Аналитическая динамика" -> 247

Аналитическая динамика - Парс Л.А.

Парс Л.А. Аналитическая динамика. Под редакцией Рубашева А.Н. — М.:Наука, 1971. — 636 c.
Скачать (прямая ссылка): analitdinamik1971.djvu
Предыдущая << 1 .. 241 242 243 244 245 246 < 247 > 248 249 250 251 252 253 .. 290 >> Следующая


z = S2, (26.10.8)

отображающее правую полуплоскость ? на плоскость z с разрезом вдоль отрицательной вещественной оси. При этом

M2 = 4 I ? I2 = 4 I z I = 4г,

где, как обычно,

г2 =

z2 + г/2

(26.10.9) (26.10.10)

Функция Лагранжа запишется теперь в форме

Л = !(?'2 +T1")+ 4r(A-TF), а интеграл энергии будет иметь следующее выражение:

4(Г2 + ті'2)=4г (h-W).

(26.10.11)

(26.10.12)

Кривые \ = const ит] = const в ^-плоскости отображаются в два семейства конфокальных парабол, пересекающих друг друга под прямым углом (рис. 107). Эти семейства парабол уже встречались нам в § 17.9.

Преобразование (26.10.8) особенно удобно для исследования задачи о движении в поле ньютоновского притяжения, когда V = — рУг. В этом

§ 26.10]

КОНФОРМНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

543

случае

A = J(I'2 + т]'2) + ihr + 4р = і (?'2 + t1'2) + 4a (E2 + "л2) -f 4р, (26.10.13)

и мы снова получаем разделение системы на две независимых. Уравнения движения имеют вид

I" = 8hl, П" = 8Ut1, (26.10.14)

а интеграл энергии имеет следующее выражение:

5'2 + л'2 - 8A (I2 + t]2) = 8р. (26.10.15)

Как хорошо известно, характер решения существенным образом зависит от знака h. Рассмотрим более подробно случай, когда h < 0, положив, например, 8/г = — р2, где р — вещественное положительное число. Общее решение получить нетрудно. Оно будет иметь более простой вид, если «выстрелить из вершины параболы», иными словами, положить \' = ц = 0 при 0=0. Тогда будем иметь

§ = сс cos pQ, t1 = ? sin pQ, (26.10.16)

причем

а2 + ?2 = - ф = 2a. (26.10.17)

Выбор этого обозначения продиктован тем, что при движении по эллиптической орбите энергия равна —\il2a, где 2а обозначает большую ось эллипса. Положим

а2 = а (1 - е), ?2 = а (1 + ё), \ е |< 1. (26.10.18)

(Если в качестве начальной точки выбран перигелий, то е>0.) Тогда будем иметь

X = I2 — t)2 = а (1 — е) cos2 pQ — a (I + е) sin2 pQ = a (cos v — e), \

у =2l4 = aVT^e~2sinv, > (26.10.19)

r = I2 + rf = a (1 — e) cos2 pQ + a (1 -j- e) sin2p9 = a(l—e cos v), t

где V = 2pQ.

Рассмотрим теперь зависимость положения частицы на орбите от времени. Имеем '

dt = 4r dQ = 4а (1 — е cos v) dv/2p, (26.10.20)

t — t0 = — (v-esmv). (26.10.21)

P

Принимая во внимание формулу р2 = 4р/а, находим

V — е sin V = п (t — t0), (26.10.22)

где п2 = р/а3. Ясно, что величина v представляет собой эксцентрическую аномалию, а уравнение (26.10.22) является уравнением Кеплера.

Напишем уравнение орбиты в полярных координатах, отсчитывая полярный угол ф от оси Ох:

1 + gcos (P = ^fL= а^-е'2) . (26.10.23)

г г

Это есть уравнение эллипса; если е > 0, то перигелий расположен на положительной оси X (ф =0).

В ходе вывода надо было предположить, что движение происходит по части кривой (26.10.16), расположенной в правой полуплоскости ?, соответствующей орбите в z-плоскости, не пересекающей линии разреза. Теперь в этом ограничении нет нужды.

Глава XXVII ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ

§ 27.1. Вариация действия. В этой главе мы рассмотрим вариационный принцип иного типа — так называемый принцип наименьшего действия. Мы будем предполагать, что выполняются условия, сформулированные в § 26.6, а именно что система является катастатической, связи между х и q не зависят от t и функция L не содержит время. При этом исчезает различие между возможными и виртуальными перемещениями и, кроме того, существует интеграл энергии E = h:

E=^'qr~-L, (27.1.1)

dqr

где знак 2 означает суммирование от г=1 до г = п.

Отличительной чертой излагаемой здесь теории является то, что на варьируемые движения накладывается ограничение, состоящее в том, что для них E сохраняет постоянное значение. Варьированное движение получают, сообщая в каждый момент t виртуальное перемещение dq относительно действительного движения, причем положению q + dq соответствует момент времени t + Ы. В общем случае продолжительность варьированного движения отличается от продолжительности исходного движения. Варьированное движение в общем случае не является динамически возможным движением, а в случае неголономной системы оно не является даже геометрически возможным. Единственное ограничение, которому подчинено это движение, заключается в требовании постоянства полной энергии. Мы будем по-прежнему предполагать, что вариации Oq и Ot являются функциями от t класса C2-

Определим действие Ж как интеграл

h

\(2?r-^) dt, (27.1.2)

вычисляемый вдоль траектории в ^-пространстве. Выражение (27.1.2) эквивалентно следующему:



SF = [ (27VfT1)A. (27.1.3)

"'о

Для натуральной системы последний интеграл записывается в форме

h

SK= j 27і"dt. (27.1.4)

to

Основная теорема состоит в том, что при указанной выше вариации

Ж = 2 -^- б<7г

dqr t0

где h-\-8h есть (постоянное) значение E на варьированном пути. Приведем два доказательства этого результата.

§ 27.2]

ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ

545

1) Согласно (26.4.4) имеем

з{"+(2^)?*}*-2-^«*
Предыдущая << 1 .. 241 242 243 244 245 246 < 247 > 248 249 250 251 252 253 .. 290 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed