Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
z = S2, (26.10.8)
отображающее правую полуплоскость ? на плоскость z с разрезом вдоль отрицательной вещественной оси. При этом
M2 = 4 I ? I2 = 4 I z I = 4г,
где, как обычно,
г2 =
z2 + г/2
(26.10.9) (26.10.10)
Функция Лагранжа запишется теперь в форме
Л = !(?'2 +T1")+ 4r(A-TF), а интеграл энергии будет иметь следующее выражение:
4(Г2 + ті'2)=4г (h-W).
(26.10.11)
(26.10.12)
Кривые \ = const ит] = const в ^-плоскости отображаются в два семейства конфокальных парабол, пересекающих друг друга под прямым углом (рис. 107). Эти семейства парабол уже встречались нам в § 17.9.
Преобразование (26.10.8) особенно удобно для исследования задачи о движении в поле ньютоновского притяжения, когда V = — рУг. В этом
§ 26.10]
КОНФОРМНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
543
случае
A = J(I'2 + т]'2) + ihr + 4р = і (?'2 + t1'2) + 4a (E2 + "л2) -f 4р, (26.10.13)
и мы снова получаем разделение системы на две независимых. Уравнения движения имеют вид
I" = 8hl, П" = 8Ut1, (26.10.14)
а интеграл энергии имеет следующее выражение:
5'2 + л'2 - 8A (I2 + t]2) = 8р. (26.10.15)
Как хорошо известно, характер решения существенным образом зависит от знака h. Рассмотрим более подробно случай, когда h < 0, положив, например, 8/г = — р2, где р — вещественное положительное число. Общее решение получить нетрудно. Оно будет иметь более простой вид, если «выстрелить из вершины параболы», иными словами, положить \' = ц = 0 при 0=0. Тогда будем иметь
§ = сс cos pQ, t1 = ? sin pQ, (26.10.16)
причем
а2 + ?2 = - ф = 2a. (26.10.17)
Выбор этого обозначения продиктован тем, что при движении по эллиптической орбите энергия равна —\il2a, где 2а обозначает большую ось эллипса. Положим
а2 = а (1 - е), ?2 = а (1 + ё), \ е |< 1. (26.10.18)
(Если в качестве начальной точки выбран перигелий, то е>0.) Тогда будем иметь
X = I2 — t)2 = а (1 — е) cos2 pQ — a (I + е) sin2 pQ = a (cos v — e), \
у =2l4 = aVT^e~2sinv, > (26.10.19)
r = I2 + rf = a (1 — e) cos2 pQ + a (1 -j- e) sin2p9 = a(l—e cos v), t
где V = 2pQ.
Рассмотрим теперь зависимость положения частицы на орбите от времени. Имеем '
dt = 4r dQ = 4а (1 — е cos v) dv/2p, (26.10.20)
t — t0 = — (v-esmv). (26.10.21)
P
Принимая во внимание формулу р2 = 4р/а, находим
V — е sin V = п (t — t0), (26.10.22)
где п2 = р/а3. Ясно, что величина v представляет собой эксцентрическую аномалию, а уравнение (26.10.22) является уравнением Кеплера.
Напишем уравнение орбиты в полярных координатах, отсчитывая полярный угол ф от оси Ох:
1 + gcos (P = ^fL= а^-е'2) . (26.10.23)
г г
Это есть уравнение эллипса; если е > 0, то перигелий расположен на положительной оси X (ф =0).
В ходе вывода надо было предположить, что движение происходит по части кривой (26.10.16), расположенной в правой полуплоскости ?, соответствующей орбите в z-плоскости, не пересекающей линии разреза. Теперь в этом ограничении нет нужды.
Глава XXVII ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ
§ 27.1. Вариация действия. В этой главе мы рассмотрим вариационный принцип иного типа — так называемый принцип наименьшего действия. Мы будем предполагать, что выполняются условия, сформулированные в § 26.6, а именно что система является катастатической, связи между х и q не зависят от t и функция L не содержит время. При этом исчезает различие между возможными и виртуальными перемещениями и, кроме того, существует интеграл энергии E = h:
E=^'qr~-L, (27.1.1)
dqr
где знак 2 означает суммирование от г=1 до г = п.
Отличительной чертой излагаемой здесь теории является то, что на варьируемые движения накладывается ограничение, состоящее в том, что для них E сохраняет постоянное значение. Варьированное движение получают, сообщая в каждый момент t виртуальное перемещение dq относительно действительного движения, причем положению q + dq соответствует момент времени t + Ы. В общем случае продолжительность варьированного движения отличается от продолжительности исходного движения. Варьированное движение в общем случае не является динамически возможным движением, а в случае неголономной системы оно не является даже геометрически возможным. Единственное ограничение, которому подчинено это движение, заключается в требовании постоянства полной энергии. Мы будем по-прежнему предполагать, что вариации Oq и Ot являются функциями от t класса C2-
Определим действие Ж как интеграл
h
\(2?r-^) dt, (27.1.2)
вычисляемый вдоль траектории в ^-пространстве. Выражение (27.1.2) эквивалентно следующему:
'і
SF = [ (27VfT1)A. (27.1.3)
"'о
Для натуральной системы последний интеграл записывается в форме
h
SK= j 27і"dt. (27.1.4)
to
Основная теорема состоит в том, что при указанной выше вариации
Ж = 2 -^- б<7г
dqr t0
где h-\-8h есть (постоянное) значение E на варьированном пути. Приведем два доказательства этого результата.
§ 27.2]
ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ
545
1) Согласно (26.4.4) имеем
з{"+(2^)?*}*-2-^«*