Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Легко понять физический смысл виртуальных перемещений: это — те перемещения, которые были бы возможны на поверхности, если в момент t эту поверхность мгновенно остановить. Приведем простой пример. Пусть частица перемещается по полу кабины лифта, который поднимается со скоростью W. Направляя ось z вертикально вверх, мы видим, что возможные перемещения удовлетворяют равенству
dz — W dt = О,
тогда как виртуальные перемещения удовлетворяют равенству
8z = 0.
Или через скорости: для возможных скоростей имеем
z = W.
а для виртуальных скоростей
z = 0.
Мы видим, что скорости различны: вертикальная составляющая возможных скоростей равна W, а вертикальная составляющая виртуальных скоростей равна нулю.
Различие между возможными и виртуальными перемещениями (или между возможными и виртуальными скоростями) для этого примера весьма существенно. Этого различия мы не имели в § 1.5, где оба типа перемещений (скоростей) совпадали. Заметим, что уравнение (1.6,5) для виртуальных перемещений очень просто можно получить из уравнения (1.6.3) для возможных перемещений: достаточно в последнем опустить слагаемое, содержащее dt, и заменить dx, dy, dz на 8х, 8у, 8z.
зо
ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
[Гл. I
§ 1.7. Несвободная материальная точка (случай III). После того как мы рассмотрели два примера, сделаем одно обобщение.
В приведенных примерах левая часть уравнения связи Пфаффа является точным дифференциалом, но это обстоятельство ни в коей мере не является существенным для общего понятия о связях. Уравнение может содержать любую форму Пфаффа, не обязательно такую, которая допускает интегрирующий множитель. В общем случае уравнение связи мы будем записывать в следующей форме:
a dx + Ъ dy + с dz + р dt = 0, (1.7.1)
где а, Ь, с, р — заданные функции переменных х, у, z, t, принадлежащие классу Ci. Перемещения, удовлетворяющие уравнению (1.7-1), суть возможные перемещения. Виртуальные перемещения удовлетворяют уравнению
a Ox + Ъ 8у + с 8z = 0. (1.7.2)
Вместо возможных и виртуальных перемещений можно оперировать возможными и виртуальными скоростями. Возможные скорости удовлетворяют уравнению
ах + by + cz + р = 0, (1.7.3)
а виртуальные скорости — уравнению
ах + by + cz = 0. (1.7.4)
Практически уравнения Пфаффа (1.7.1) и (1.7.2) обычно более удобны, чем уравнения (1.7.3) и (1.7.4).
Сформулируем теперь задачу в общем виде. Материальная точка находится под действием заданной силы (X, Y, Z) и реакции связи (X', Y',Z'). Реакция связи такова, что работа ее на любом виртуальном перемещении равна нулю, и движение при действии указанных выше двух сил является возможным, т. е. действительное движение удовлетворяет уравнению (1.7.3).
Теперь легко убедиться, что в общем случае движение может быть определено. Поскольку
X'Ox + Y'Oy + Z'8z = 0 (1.7.5)
для всех 8х, 8у, 8z, удовлетворяющих (1.7.2), будем иметь
Y' V 7'
— = -?- = — = к (1.7.6)
а о с 4 '
или
X' = Ka, Y' = Xb, Z' = Xe. (1.7.7)
Таким образом, переменные х, у, z удовлетворяют следующим уравнениям:
ті= X+ Xa, (1.7.8)
ту'= Y+ Xb, (1.7.9)
mz = Z + Xe, (1.7.10)
ах + by + c'z + р = 0. (1.7.3)
В общем случае этих четырех уравнений достаточно для определения четырех неизвестных х, у, z, X как функций независимой переменной t.
• • •
Для нахождения решения нужно знать значения х, у, z и х, у, z (удовлетворяющие (1.7.3)) в момент ? = 0.
§: 1.8]
ГОЛОНОМНЫЕ И НЕГОЛОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ
31
Сделаем еще пару замечаний. Геометрически уравнение (1.7.2) показывает, что виртуальное перемещение лежит в плоскости, перпендикулярной к вектору (а, Ъ, с), тогда как из уравнения (1.7.6) следует, что реакция связи направлена вдоль этого вектора. Физический смысл множителя тоже ясен: он пропорционален величине реакции связи. Реакция связи равна кУа2 + Ъг + с2.
Как правило, возмоншые перемещения и виртуальные перемещения различаются, однако если р тождественно равно нулю, то они совпадают. В этом случае система носит название катастатической. Заметим, что в катастатической системе коэффициенты а, Ъ, с могут зависеть не только от х, у, z, но и от t. Для катастатической системы характерно, что 1) возможные и виртуальные перемещения идентичны и 2) скорость {х, у, z} = О является возможной скоростью. Система, не являющаяся катастатической, называется акатастатической.
§ 1.8. Голономные и неголономные системы. Если уравнение связи Пфаффа (1.7.1) интегрируемо (после умножения на соответствующий интегрирующий множитель), то система называется голономной *). Уравнение связи в этом случае можно записать в конечной форме:
г|> (х, у, z, t) = 0. (1.8.1)
Если уравнение (1.7.1) неинтегрируемо, то система называется неголо-номно й.
Чтобы ответить на вопрос о том, в чем состоит основное различие между голономными и неголономными системами, достаточно рассмотреть катаста-тические системы, ограничившись простым случаем, когда коэффициенты а, Ъ, с не зависят от t.
Если пфаффова форма a dx + Ъ dy + с dz допускает интегрирующий множитель, то система голономна и уравнение связи записывается в виде
