Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
(1.1.4)
то три дифференциальных уравнения второго порядка (1.1.2) можно заменить шестью дифференциальными уравнениями первого порядка:
х = и, X
и = —¦
'. = W, )
W = -
J
(1.1.5)
в которых X, Y, Z являются теперь функциями х. у, z; и, v, w, t Уравнения (1.1.5) можно записать в более компактной форме:
X — X.
Здесь X обозначает матрицу-столбец
У z и
V
W
(1.1.6)
*) Мы будем говорить,.что функция одной или нескольких переменных принадлежит классу Cp в области D изменения независимых переменных, если все ее производные порядка р существуют и непрерывны в D.
S 1.2] ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ B СИЛОВОМ ПОЛЕ 17
а X — матрицу-столбец
(U\
V
W
Х_
т *
У_ т
Ys-/
Строго говоря, между вектором X и матрицей-столбцом, элементы которой являются составляющими вектора, следует проводить различие, однако мы часто будем вектор и матрицу-столбец считать синонимами, и это не приведет к какой-либо путанице. Удобства ради мы иногда будем писать составляющие вектора в строку, а не вертикально и будем пользоваться фигурными скобками вместо круглых, чтобы подчеркнуть матричный характер вектора. Так, вместо ас мы можем написать {х, у, z; и, v, w}, а вместо X {и, и, w, Xlm, Ylm, ZIm}.
В дальнейшем нам часто будет встречаться уравнение вида (1.1.6). В общем случае ас будет обозначать вектор {X1, xz, . . ., хт}, а X — вектор {Xi, X2, ¦ ¦ ., Хт}. Составляющие ХТ вектора X будут, вообще говоря, зависеть от m -f 1 переменных: X1, х2, .... xm; t. Кратко это можно записать в виде X = X (ас; t). Во многих случаях, однако (как это уже отмечалось в случае одной свободной частицы), переменная t не входит в выражение для X, т. е. X = X (х). В этом случае говорят, что система автономна.
Уравнения (1.1.2) определяют движение частицы в обычном пространстве. Аналогично, уравнения (1.1.5) определяют движение изображающей точки с координатами х, у, z, и, v, w в пространстве шести измерений. Система (1.1.5) содержит шесть зависимых переменных, тогда как система (1.1.2) содержит три зависимые переменные. Важным преимуществом уравнений (1..1.5) является то, что положение изображающей точки S шестимерном пространстве в момент т. определяет ее положение в момент t, по крайней мере для некоторого интервала значений t, включающего момент t — т. В дальнейшем мы часто будем прибегать к подобного рода замене п дифференциальных уравнений второго порядка 2п уравнениями первого порядка.
§ 1.2. Прямолинейное движение материальной точки в силовом поле.
Простейшей и в то же время весьма важной задачей является задача о движении материальной точки по прямой линии Ox \ силовом поле. В этом случае
X = F(x), (1.2.1)
где F(x) — заданная функция независимой переменной х, принадлежащая классу C1 в некоторой области значений х; в простейших случаях функция F(x) определена для всех вещественных значений х. Введем потенциальную функцию V(x):
X
V(X)=- ^F(I) dl, (1.2.2)
а
где а — любое подходящее число, лежащее в области определения F(x). Таким образом, V(a) 0, V(x) ? C2 и
X = F(X)= —gl. (1.2.3)
2 Л. А. Парс
18
ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
[Гл. I
Кинетическая энергия T материальной точки определяется формулой
T = -~тх2. (1.2.4)
Уравнение движения имеет вид
тх='Х = F(x). (1.2.5)
Символ F(x) в правой части уравнения (1.2.5) обозначает теперь величину функции F(x) в точке х, в которой точка находится в момент t (в противоположность (1.2.1), где F(x) есть функция независимой переменной х). Аналогичным образом, если V (х) представляет собой значение в точке х (t), в которой частица находится в момент t (в противоположность (1.2.2), где V (х) есть функция независимой переменной х), то можем написать
dV dV • „, , •
Умножая (1.2.5) на х, находим, что -^- (T + V) = 0, откуда
T + V = h, (1.2.6)
где h — постоянная.
Уравнение (1.2.6) представляет собой известное уравнение энергии, или
интеграл энергии. Уравнение второго порядка (1.2.5), выражающее а; как функцию отх, заменяется, таким образом, уравнением первого порядка (1.2.6),
выражающим х2 как функцию от х. Для рассматриваемой задачи характерно
то, что одному значению х соответствуют два значения х, одинаковые по величине, но различающиеся знаком. Поскольку T ^ 0, из (1.2.6) следует, что материальная точка никогда не выходит за пределы области V ^.h.
Если уравнение второго порядка (1.2.5) заменить двумя уравнениями первого-порядка, то будем иметь
• F Ir)
х=и, и = —(1.2.7)
Для наших непосредственных целей в этом нет необходимости, но в других случаях такой прием оказывается очень удобным. Уравнение энергии представляет собой уравнение траектории изображающей точки в плоскости хи:
¦jmu*+V = h. (1.2.8)
Уравнение энергии
±m'x = h-V (1.2.9)
проходит через всю теорию прямолинейного движения материальной точки в силовом поле. Более того, уравнение вида
х2 = ц>(х), (1.2.10)
P' котором ф (х) ? C2 в соответствующей области х, фигурирует во многих задачах динамики. По этой причине следует кратко остановиться на задаче о,б интегрировании уравнения (1.2.10). Мы увидим, что характер движения можно определить по графику функции ф (х).
