Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим теперь несколько простых примеров прямолинейного движения точки в силовом поле. Эти примеры элементарны и легко могут быть решены и без общей теории. Однако, отыскивая выражение х от t, полезно заранее знать тип осуществляющегося движения.
Пример 1.2А. Гармонический осциллятор. Действующая на частицу притягивающая сила направлена к фиксированной точке О оси Ох, и величина ее пропорциональна расстоянию от точки О. Приняв точку О за начало координат, можем написать
X = — тпЪ, (1.2.13)
где п — положительная постоянная. Уравнение движения можно написать в виде
X+ пгх = 0. (1.2.14)
Решение этого линейного уравнения с постоянными коэффициентами легко получить, не обращаясь к общей теории; оно имеет вид
х = а, cos nt -\- (Ып) sin nt. (1.2.15)
§ 1.2] ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ В СИЛОВОМ ПОЛЕ
21
Здесь через а обозначено начальное (в момент t = 0) значение х, а через Ъ начальное значение х. Формулу (1.2.15) можно также записать в форме
х = с cos (nt — а), (1.2.16)
где
с=Уа* + {Ь/п)\
а а — угол в пределах 0 ^ а < 2л, определяемый равенствами
Ъ
с cos a = a, csmcx = —.
' п
Уравнение (1.2.16) описывает движение по оси Ox проекции на нее точки, движущейся по окружности с постоянной угловой скоростью п. Движение периодическое с периодом 2л/п.
Задача была решена нами непосредственно, рассмотрим теперь ее с точ-
ки зрения общей теории. Считая F = O в точке О. имеем V = =^тп2х2. Уравнение энергии (1.2.9) принимает вид
'х2\п2х2 = —. (1.2.17)
Постоянная h, очевидно, положительна. Если h = 0, то мы имеем тривиальный случай, когда частица покоится в точке О: х = 0 все время. Если
h положительно и равно h = -^-тп2с2. где с > 0, то функция у = h — V имеет вид
у = ~тп2(с2-х2) (1.2.18)
и движение, очевидно, представляет собой либрацию между значениями ±с. Гармонический осциллятор является прототипом всех либрационных движений. Из формулы (1.2.12) легко находится период либрации. Чтобы проинтегрировать уравнение
і2 = тг2 (с2 - Xі), (1.2.19)
введем вместо X параметр 9, определяемый формулой х = с cos 9. Без потери общности можно принять, что 8 всегда возрастает вместе с t. Подставляя
X = с cos 8 в (1.2.19), находим, что 9а = п2, откуда 6 = п и 8 = nt — а. Таким образом, мы вновь приходим к решению (1.2.16).
Прежде чем закончить рассмотрение задачи о гармоническом осцилляторе, проследим еще раз за ходом рассуждений в связи с заменой одного уравнения второго порядка (1.2.14) двумя уравнениями первого порядка (§ 1.1). Эти уравнения имеют вид
х = и, и = — пгх. (1.2.20)
Траектория изображающей точки в плоскости хи представляет собой эллипс
Точка проходит его по движению часовой стрелки. Еще проще в качестве переменной взять у — х/п. Уравнения при этом записываются в форме
X = пу, у = —пх. (1.2.22)
Траекторией изображающей точки в плоскости ху является окружность, проходимая по ходу часовой стрелки с постоянной угловой скоростью п. В результате мы приходим к формуле (1.2.16). Можно было бы с самого начала заменить независимую переменную t переменной % = nt, после чего исходное дифференциальное уравнение (1.2.14) принимает вид
х" + X = 0. (1.2.23)
22
ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
[Гл. I
Штрихами здесь обозначено дифференцирование по т. Это уравнение эквивалентно системе уравнений
х' = у, у' = —х, (1.2.24)
из которых видно, что изображающая точка движется по окружности с угловой скоростью, равной единице, и с периодом по т, равным 2я.
Если материальная точка, находящаяся в силовом поле, выведена из состояния покоя в точке а, в которой функция V (х) класса C-i имеет минимум, то ее движение приближенно является гармоническим. Для невозмущенного движения уравнение энергии (1.2.9) имеет вид
-i тх2 = V (а) - V (х) (1.2.25)
и кривая V (а) — V (х) касается оси Ox в точке х ¦— а. В точке х = а функция V (а) — V (х) имеет максимум, и потому кривая в окрестности этой точки лежит под осью Ох. Если постоянная полной энергии h возрастает от значения V (а) до значения V (a) + 8h, где 8h — малое положительное число, то получаем либрацию между двумя значениями, лежащими вблизи а. Равновесие такого типа называется устойчивым. Уравнение энергии для возмущенного движения записывается в виде
±-mi2 = V (a) + 8h-V(x). (1.2.26)
Подставляя а + | вместо х, получаем
I т\2 = OA-{V (a+ D-V (а)}. (1.2.27)
Величина ? остается малой во все время движения, поэтому можно написать приближенное равенство
і-т?2 = бА-ІГ(а)?2. (1.2.28)
Сравнивая (1.2.28) и (1.2.19), видим, что возмущенное движение приближенно можно трактовать как гармоническое колебание с периодом 2л/п, где п2 = V" (а)/т, и амплитудой Y'lbhlV" (а).
Пример 1.2В. Однородное силовое поле. В этом примере сила постоянна по величине и направлению, например, X = тс, где с > 0. Уравнение движения в этом случае имеет вид
х = с. (1.2.29)
Решение представляется отрезком ряда Тейлора
x = a + bt + ±-ct2, (1.2.30)
где а и Ъ — начальные значения х и х. Равенство (1.2.30) может быть переписано в следующей форме:
