Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим сначала один особый случай. Пусть имеется'точка Xo такая, что, в ней ф (х) и ф' (х) одновременно обращаются в нуль. Иначе говоря, в этой точке кривая у = ц> (х) касается оси Ox и эта точка является положе-
§ 1.2] ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ В СИЛОВОМ ПОЛЕ 19
нием равновесия. Если в момент t = 0 х = хо (и, следовательно, х = 0), то всегда х = хо и точка находится в положении равновесия.
Кроме этого исключительного случая существуют четыре возможных варианта поведения точки в зависимости от t;
1. Точка совершает непрерывные колебания вдоль оси х между точками X = а ж X = Ь, и ее движение является периодическим; такое движение называется либрационным движением.
2. X ->• а, когда ?-»-оо; такое движение называется лимитационным движением *).
3. я—>• оо (или ? —>- — оо), когда ? —>¦ оо.
4. х-*- оо (или я —»- — оо), когда t-+ to.
Покажем, каким образом эти четыре типа движений получаются из уравнения (1.2.10). Обратимся для этого к графику функции у = ф (х). Ордина-
та у для всякого значения х дает соответствующее значение ж2, а производная dyldx указывает соответствующее значение 2х. Движение может осуществляться только на тех участках оси х, где cp (х) ^ 0. Предположим, что
3 У У
а)
Ь)
Рис. 1.
cj
при t = О X = Xo, функция ф (хо) > О (а не cp (х0) = O) и что в этот момент
а; > 0, т. е. X = Уф (ж0). Для достаточно малых значений ? скорость * положительна, и соотношение между t ж X для этих значений t имеет Вид
t -¦
dl
Уф (і)
(1.2.11).
I. Предположим сначала, что точка х0 Лежит между двумя последовательными простыми вещественными нулями а, Ъ функции ф (х), причем а <; Ъ. График у = ф (х) для этого случая показан на рис. 1, а; кривая пересекает ось X в точках а и Ь, и ф (х) > О при а < х < Ь, причем в точке a d<p/dx > О, а в точке Ъ dy/dx < 0. Поскольку Ъ — простой нуль функции <р (ж), интеграл в правой части (1.2.11) сходится при х-^-Ъ, так что материальная точка достигает точки b за конечное время. В точке-Ь она приходит в состояние
покоя, но лишь мгновенного (поскольку X <С 0), и затем начинает двигаться влево. Подобным же образом устанавливаем, что материальная точка достигает точки а за конечное время, на мгновение останавливается и затем начинает двигаться вправо. В начальную точку она возвращается с той же (положительной) скоростью, с какой она начала свое движение; это происходит за время
^ Уф (I) •> "V<p(?)
Уф (і)
(1.2.12)
*) Либрационное движение и лимитационное движение, а также обзор теории с несколько иных позиций см. в книге: К. Ш а р лье, Небесная механика, M., иэд-во «Наука», 1966.
2*
20
ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
[Гл. 1
после старта. (В первом интеграле в формуле (1.2.12) \ возрастает от а до Ь и затем убывает от Ъ до а; радикал берется со знаком плюс, когда | возрастает, и со знаком минус, когда | убывает. Во втором интеграле радикал берется со знаком плюс.) Движение в интервале от t = о до t = 2о представляет собой простое повторение движения в интервале от t = 0 до t = а. Это же справедливо для движения в интервале от t = га до t = = (г -f 1) о, где г — любое целое положительное число. Движение периодическое с периодом о.
До сих пор мы предполагали, что ср (хд) > 0, но ясно, что такое же периодическое движение будет иметь место, если точка начинает движение из состояния покоя в точке а или Ъ.
Наконец, такое же движение будет и в том случае, когда в момент
t — 0 ф (х0) >0иі<0(ї = - |/ф (х0)).
П. Предположим теперь, что, удаляясь от Xo, точка приближается к двойному (или более высокой кратности) нулю с функции ф (х). Кривая Ф (х) касается оси Ox в точке х = с (рис. 1, Ъ). В этом случае интеграл в правой части (1.2.11) расходится при х—>-с, и х с при t-^-oo.
В случае, иллюстрированном на рис. 1, с, х0 лежит между простым нулем а функции ф (х) и двойным нулем с этой фупкции: а < х0 < с.
Если в момент t = 0 х <i0 (х = — \Аср (х0)), то х сначала убывает и частица достигает точки а за конечное время; остановившись в этой точке на мгновение, она затем движется вправо, и х —>- с при t-*-oo.
Если, наконец, ф (х) > 0 при х > Xq , то точка продолжает двигаться
вправо (при условии, что в начальный момент х > 0), и уравнение (1.2.11) удовлетворяется во все время движения. При этом имеются две возможности.
III. Если интеграл в правой части (1.2.11) расходится при х-^-оо, то с ростом t X-V OO.
IV. Если же интеграл сходится при х -> оо к значению to\ то при t-^-to X оо.
Легко видеть, что ничто не изменяется и в том случае, когда х =gC О при t = 0, за исключением того, что при t оо или t t0 х может стремиться не к +°°, а к —оо. Классификация возможных случаев на этом завершается. Во всякой частной задаче достаточно посмотреть на график функции ф (х), чтобы установить тип движения. В том частном случае, с которого мы начали рассмотрение этой задачи, функция ф (х) имеет вид 2(h — V); для любого заданного h график V (х) определяет характер движения.
