Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
x-x0 = ^c(t-t0f, (1.2.31)
где X0 = а — (b2/2c), t0 = — Ыс. В момент I = I0 имее.м х = х0; в последующие моменты X ^ х0. Уравтгеттие энергии записывается в форме
± X* = с (X-X0). (1.2.32)
Этот пример относится к случаю III, так как х ->- оо при ?оо.
S 1.2] ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ В СИЛОВОМ ПОЛЕ
23
Пример 1.2С. Рассматривается поле сил отталкивания, пропорциональных расстоянию от точки О: .
X = тп2х. (1.2.33)
Уравнение движения имеет вид
"х - п2х = 0, (1.2.34)
а решение его представляется формулой
X — a ch nt + (Ып) sh nt, (1.2.35)
где а и Ъ — значения х и х в момент t = 0. Уравнение энергии записывается в форме
¦j(x2-n2x2) = h. (1.2.36)
Если в начальный момент х = а, х = — па, то h = 0 и график функции A-F представляет собой параболу
у = ¦Jn2X2. (1.2.37)
Имеем лимитационное движение, в котором ?->0 при ?->оо,— пример, относящийся к случаю II. Решение уравнения (1.2.34) при данных начальных условиях имеет вид
x = ae;ni, (1.2.38)
и X —у 0 при Z —>- сю, как это следует из теории.
Если в начальный момент х = а, х = 0, то решением будет
х = achnt (1.2.39)
и мы будем иметь случай III. Частица уходит в бесконечность гораздо быстрее, чем в однородном поле. В данном случае х = О (ent), тогда как в случае однородного поля х = О (t2).
Пример 1.2D. Притяжение по закону \imlrn. При а; > 0 действующая сила равна X = — \imlxn, где п — целое число, большее единицы. Если частица удаляется от начала координат, начав движение из точки X = а со скоростью, которой она достигла бы, двигаясь из состояния покоя из бесконечности (так что h = 0), то имеем
Формула показывает, что в соответствии с теорией частица движется в бесконечность. Действительно,
2
X = a (1 + ^)"+1, (1.2.41)
где К = —|— —^)an+i • Мы снова имеем случай III. Частица движется в бесконечность медленнее, чем в однородном поле, так как теперь х =
2
= 0(*"+1).
Пример 1.2Е. Рассмотрим поле
X = т {- п2х + Зп2х2/(2а)}. п > 0, а > 0. (1.2.42)
24
ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
1Гл. 1
Пусть частица начинает свое движение в момент t = 0 из точки х -= а. где она находилась в состоянии покоя. Решение будет иметь вид
X = a sec
(тп*)'
(1.2.43)
и X -> оо при t-^-л/п. Этот пример относится к случаю IV. Уравнение энергии имеет вид
Yx2~~ia nZx2 (х — 0^'
(1.2.44)
§ 1.3. Либрационное движение. Рассмотрим более подробно либрацион-ное движение (случай I). В движении, определяемом уравнением
г2 _
ф
(1.2.1U)
начальное значение х лежит между последовательными простыми вещественными нулями а, Ъ функции ф (х). Можно написать
Ф (х) = (Ъ — х) (х — а) і|з (х).
(1.3.1)
При этом в замкнутом промежутке a ^ х ^ Ъ имеем ф (х) > 0. Уравнение (1.2.10) принимает теперь форму
Xі = (Ъ — х) (х — а) г|з (х).
(1.3.2)
Знак X зависит от самой задачи, так как при колебательном движении частица движется попеременно то вправо, то влево. Знак в уравнении
dt =
dx
Уф (X)
(1.3.3)
о
должен выбираться таким образом, чтобы при изменении х между предельными значениями а и Ъ правая часть уравнения (1.3.3) всегда была положительна. Поэтому, когда х возрастает, следует выбирать знак плюс, а когда х убывает — знак минус. С этим мы уже встречались в § 1.2 и встретимся еще позже.
Для того чтобы избежать в дальнейшем возможной путаницы со знаком, целесообразно ввести новую угловую переменную 6, непрерывно возрастающую вместе с t. Мы будем рассматривать либрацию как движение проекции на ось Ox точки, совершающей вращение по окружности. Точки X = а и X = Ъ будут концами диаметра этой окружности. Когда точка Q (рис. 2) движется по окружности в одном и том же направлении, точка P совершает колебания между точками А ж В. Переменные і и 6 связаны между собой соотношением
X = а — ? cos 0, (1.3.4)
al P ос
АІ
\?/C
JB "
//
//
47 у
а
----^
Рис. 2.
где
(Ъ
- ? = а, и j-p=i X) (х — а) = ?2 sin2 Є.
(1.3.5) (1.3.?)
§ 1.3]
ЛИБРАЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ
25
Уравнение (1.3.2) принимает теперь вид 02 — гр (а — ? cos 6), откуда
0 = |Лр (а —?cos Є). (1.3.7)
Вопрос о знаке, таким образом, отпадает, поскольку величина 0 положительна. Если бы функция гр (х) была постоянна, то постоянным было бы
и значение 0; это мы имеем в частном случае гармонического движения. Можно написать
1
У if (а—?cos 6)
1 (Є). (1.3.8)
Функция % (0) — четная, везде положительная и периодическая с периодом 2л. Переменные t и 0 связаны между собой соотношением
е
*-*<.=-= J X (S) (1.3.9)
о
Здесь t0 — значение t, при котором х = а; без потери общности можно положить = 0. Заметим, что 0 = 0 при х = а, а ж > 0 в течение полупериода 1
0<Ct<ijO. Период о определяется формулой
2л л
ст= J X(I) dg = 2 (l) dl. (1.3.10)
u о
Можно написать о = 2л/п, где п — среднее значение 0 *).
Чтобы закончить решение задачи, найдем явное выражение х от t. Поскольку X — четная функция от t с периодом 2п/п. ее можно представить в общем случае в виде ряда Фурье:
